Номер 6.5, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.5, страница 16.

6.5 а) $t = \frac{13\pi}{6}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

В) $t = \frac{23\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{11\pi}{4}$.

а) Чтобы определить, в какой четверти единичной окружности находится точка, соответствующая углу $t = \frac{13\pi}{6}$, найдем для этого угла эквивалентный ему угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого нужно вычесть или прибавить целое число полных оборотов ($2\pi$).
Представим угол $t = \frac{13\pi}{6}$ в виде суммы, выделив целое число оборотов ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$):
$t = \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Это означает, что угол $\frac{13\pi}{6}$ соответствует одному полному обороту по окружности против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, конечное положение точки на окружности будет таким же, как и для угла $\frac{\pi}{6}$.
Определим четверть для угла $\frac{\pi}{6}$. Так как выполняется неравенство $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка, соответствующая этому углу, находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

б) Для отрицательного угла $t = -\frac{8\pi}{3}$ найдем соответствующий ему положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого будем прибавлять полные обороты ($2\pi$) до тех пор, пока не получим значение в нужном диапазоне.
Один полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Прибавим $2\pi$ к нашему углу:
$-\frac{8\pi}{3} + 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$.
Полученный угол все еще отрицательный. Прибавим еще один полный оборот:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$, и ему соответствует та же точка на единичной окружности, что и углу $-\frac{8\pi}{3}$.
Определим четверть для угла $\frac{4\pi}{3}$. Сравним его с граничными значениями четвертей: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Поскольку $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в III четверти.
Ответ: III четверть.

в) Чтобы определить четверть для угла $t = \frac{23\pi}{6}$, найдем для него эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$).
Вычтем один полный оборот:
$\frac{23\pi}{6} - 2\pi = \frac{23\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Можно было вычесть и больше оборотов. Например, $2 \cdot 2\pi = 4\pi = \frac{24\pi}{6}$. Тогда $\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}$, что соответствует углу $-\frac{\pi}{6}$. Прибавив $2\pi$, получим тот же результат: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$.
Определим четверть для угла $\frac{11\pi}{6}$. Сравним его с граничными значениями: $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$. Следовательно, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

г) Для отрицательного угла $t = -\frac{11\pi}{4}$ найдем соответствующий ему положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавляя полные обороты ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$).
Прибавим один полный оборот $2\pi$:
$-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Результат все еще отрицательный, поэтому прибавим еще один оборот $2\pi$:
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$ и соответствует той же точке на окружности.
Определим четверть для угла $\frac{5\pi}{4}$. Сравним его с граничными значениями: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Поскольку $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в III четверти.
Ответ: III четверть.