Номер 9, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 9, страница 403.

9. Объясните, почему при переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни.

9.

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ не является равносильным преобразованием. Это преобразование является следствием, что означает, что каждый корень исходного уравнения будет являться корнем нового уравнения, но не наоборот. Корень, который удовлетворяет новому уравнению, но не удовлетворяет исходному, называется посторонним.

Рассмотрим, почему это происходит с алгебраической точки зрения. Уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$ можно преобразовать следующим образом:

$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{array}{l} f(x) - g(x) = 0 \\ f(x) + g(x) = 0 \end{array} \right. $

Или, в более привычном виде:

$ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. $

Таким образом, множество корней уравнения $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является объединением множеств корней двух уравнений: исходного уравнения $f(x) = g(x)$ и уравнения $f(x) = -g(x)$. Именно корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть те самые посторонние корни.

Пример:

Рассмотрим простое уравнение $x = 3$. У него один корень: $x = 3$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 = 3^2$

$x^2 = 9$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Корень $x_1 = 3$ является корнем исходного уравнения. А корень $x_2 = -3$ является посторонним, так как при подстановке в исходное уравнение получаем неверное равенство $-3 = 3$. Этот посторонний корень появился как решение уравнения $x = -3$, которое является частью совокупности, полученной после возведения в квадрат.

Ответ: При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в квадрат получается уравнение-следствие $(f(x))^2 = (g(x))^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни уравнения $f(x) = -g(x)$, которые не являются корнями исходного уравнения $f(x) = g(x)$, являются посторонними.