Номер 6, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §55 - номер 6, страница 403.

Условие.

6. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$?

Решение 6.

Областью определения уравнения вида $f(x) = g(x)$, или, как её чаще называют, областью допустимых значений (ОДЗ), называют множество всех таких значений переменной $x$, при которых обе функции — $f(x)$ (левая часть уравнения) и $g(x)$ (правая часть уравнения) — одновременно определены, то есть имеют смысл.

Каждая из функций, $f(x)$ и $g(x)$, имеет свою собственную область определения. Обозначим область определения функции $f(x)$ как $D(f)$, а область определения функции $g(x)$ как $D(g)$. Чтобы равенство $f(x) = g(x)$ было корректным, значение $x$ должно принадлежать как области определения $D(f)$, так и области определения $D(g)$ одновременно.

Следовательно, ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Математически это записывается так:
ОДЗ = $D(f) \cap D(g)$

Нахождение ОДЗ является важным шагом при решении многих типов уравнений (например, иррациональных, логарифмических, дробно-рациональных), так как корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними и должны быть исключены из ответа. Ограничения на переменную $x$ возникают в следующих основных случаях:
- Деление на выражение с переменной: если в уравнении есть дробь вида $\frac{A(x)}{B(x)}$, то её знаменатель не может быть равен нулю: $B(x) \neq 0$.
- Корень чётной степени: если есть выражение вида $\sqrt[2n]{A(x)}$ (например, квадратный корень), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $A(x) \geq 0$.
- Логарифмическая функция: для выражения $\log_a(A(x))$ аргумент должен быть строго положительным: $A(x) > 0$.
- Тригонометрические функции: например, у тангенса $\tan(A(x))$ аргумент не может быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, а у котангенса $\cot(A(x))$ — $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим пример. Найдём ОДЗ для уравнения $\log_3(x+2) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$.
1. Левая часть $f(x) = \log_3(x+2)$ определена, когда аргумент логарифма строго больше нуля: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
2. Правая часть $g(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$ определена, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем, оно должно быть $\ge 0$, а так как в знаменателе, оно не может быть равно $0$): $4-x > 0 \implies x < 4$.
3. ОДЗ уравнения — это пересечение найденных множеств, то есть множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно: $x > -2$ и $x < 4$.
Таким образом, ОДЗ данного уравнения есть интервал $(-2, 4)$.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно определены (имеют смысл) обе части уравнения: и левая, $f(x)$, и правая, $g(x)$. Это множество является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.