Номер 6, страница 389, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §54. ч. 1 - номер 6, страница 389.

6. Сформулируйте теорему Бернулли.

Термин "теорема Бернулли" является многозначным и может относиться к различным результатам в математике и физике, полученным членами семьи Бернулли. Ниже приведены наиболее известные из них.

Теорема Бернулли в теории вероятностей (закон больших чисел)

Эта теорема, доказанная Якобом Бернулли, является одной из первых формулировок закона больших чисел. Она устанавливает связь между относительной частотой появления случайного события и его теоретической вероятностью в длинной серии независимых испытаний.

Формулировка: Если вероятность наступления события $A$ в каждом из $n$ независимых испытаний постоянна и равна $p$, то для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты $\frac{m}{n}$ от вероятности $p$ не превысит $\epsilon$, будет стремиться к единице при неограниченном увеличении числа испытаний $n$.

Математическая запись теоремы:

$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1$

где $m$ — число наступлений события $A$ в $n$ испытаниях.

Ответ: Теорема Бернулли гласит, что относительная частота события в серии независимых испытаний сходится по вероятности к теоретической вероятности этого события, что выражается формулой $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1$.

Формула Бернулли

Эта формула также относится к теории вероятностей и позволяет рассчитать вероятность получения определённого числа "успехов" в серии независимых испытаний (так называемой схеме Бернулли).
Формулировка: Вероятность $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью $p$, это событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

Здесь $q = 1-p$ — вероятность "неудачи", а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, обозначающий число способов выбрать $k$ успешных испытаний из $n$.

Ответ: Вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях Бернулли равна $P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Закон (уравнение) Бернулли в гидродинамике

Этот фундаментальный закон, сформулированный Даниилом Бернулли, описывает сохранение энергии для стационарного потока идеальной жидкости (то есть невязкой и несжимаемой).
Формулировка: Для любой точки текущей идеальной жидкости вдоль одной линии тока сумма статического давления, динамического давления и гидростатического давления является величиной постоянной.
Математически это выражается уравнением:

$p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}$

где:
$p$ — статическое давление в жидкости,
$\rho$ — плотность жидкости,
$v$ — скорость потока в данной точке,
$g$ — ускорение свободного падения,
$h$ — высота точки над условным нулевым уровнем.
Из этого закона следует, что при увеличении скорости потока давление в нём падает, и наоборот (при $h=\text{const}$).

Ответ: Закон Бернулли для стационарного потока идеальной жидкости гласит, что сумма давлений $p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h$ является постоянной величиной вдоль линии тока.