Номер 5, страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §52 - номер 5, страница 375.

Условие.

5. Дайте определение числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Решение 6.

Число размещений
Размещением из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.
Ключевой особенностью размещений является то, что важен порядок следования элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются составом элементов или порядком их расположения.
Например, для множества $\{А, Б, В\}$ размещениями по 2 элемента будут являться наборы (А, Б), (Б, А), (А, В), (В, А), (Б, В), (В, Б). Здесь (А, Б) и (Б, А) — это два разных размещения.
Число всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: Размещение — это упорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества $n$ элементов. Число размещений $A_n^k$ находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Число сочетаний
Сочетанием из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называется любое неупорядоченное подмножество, состоящее из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.
В отличие от размещений, в сочетаниях порядок элементов не имеет значения. Два сочетания считаются различными, только если они отличаются своим элементным составом.
Например, для множества $\{А, Б, В\}$ сочетаниями по 2 элемента будут являться наборы {А, Б}, {А, В}, {Б, В}. Наборы {А, Б} и {Б, А} считаются одним и тем же сочетанием.
Число всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Эту формулу можно также представить через число размещений: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$. Это означает, что для получения числа сочетаний мы берем число всех упорядоченных наборов (размещений) и делим на количество перестановок ($k!$) элементов внутри каждого набора, так как эти перестановки не создают нового сочетания.

Ответ: Сочетание — это неупорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества $n$ элементов. Число сочетаний $C_n^k$ находится по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.