Номер 3, страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §52 - номер 3, страница 375.

Условие.

3. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Решение 6.

Перестановка из $n$ элементов — это любое упорядоченное множество (расположение в определенном порядке) этих элементов. Две перестановки считаются различными, если они отличаются порядком следования элементов.

Теорема о числе перестановок:
Число всех возможных перестановок множества, состоящего из $n$ различных элементов, равно произведению всех натуральных чисел от 1 до $n$. Это число обозначается $P_n$ и называется «эн факториал».

Формула для вычисления числа перестановок:
$P_n = n!$
где $n!$ (факториал числа $n$) вычисляется как:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$
По определению также принимается, что $0! = 1$.

Обоснование формулы:
При формировании перестановки на первое место в упорядоченном наборе можно поставить любой из $n$ элементов. После того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье место — любой из $n-2$ элементов, и так далее. На предпоследнее место можно поставить один из двух оставшихся элементов, а на последнее, $n$-е место, остаётся только один единственный элемент.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов расположить все $n$ элементов равно произведению числа доступных вариантов для каждой позиции:
$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Ответ: Теорема о перестановках множества из $n$ элементов утверждает, что число всех различных перестановок (упорядоченных наборов) этого множества равно $n$-факториалу. Это выражается формулой: $P_n = n!$.