Номер 8, страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §52 - номер 8, страница 375.

Условие.

8. Как по числам, расположенным в $(n-1)$-й строке треугольника Паскаля, вычислить числа, расположенные в $n$-й строке?

Решение 6.

Числа, расположенные в $n$-й строке треугольника Паскаля, можно вычислить на основе чисел из предыдущей, $(n-1)$-й, строки, используя простое рекуррентное соотношение. Это правило является основополагающим для построения треугольника.

Основное правило
Каждый элемент $n$-й строки, за исключением крайних, равен сумме двух элементов $(n-1)$-й строки, которые находятся непосредственно над ним. Крайние элементы любой строки всегда равны единице.

Формула и обозначения
Если обозначить элемент в $n$-й строке и на $k$-й позиции как биномиальный коэффициент $C_n^k$ (где нумерация строк $n$ и позиций $k$ начинается с 0), то правило можно записать в виде формулы, известной как тождество Паскаля:
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$
Эта формула верна для всех $k$ в диапазоне $0 < k < n$.
Для крайних элементов ($k=0$ и $k=n$) правило еще проще:
$C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$.

Пример вычисления
Предположим, у нас есть 3-я строка (то есть $n-1=3$):
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
Это соответствует коэффициентам $C_3^0=1$, $C_3^1=3$, $C_3^2=3$, $C_3^3=1$.

Чтобы получить 4-ю строку ($n=4$), мы действуем следующим образом:
1. Начинаем строку с 1, так как $C_4^0 = 1$.
2. Вычисляем следующий элемент, складывая первую пару из 3-й строки: $C_4^1 = C_3^0 + C_3^1 = 1 + 3 = 4$.
3. Вычисляем третий элемент, складывая вторую пару: $C_4^2 = C_3^1 + C_3^2 = 3 + 3 = 6$.
4. Вычисляем четвертый элемент, складывая третью пару: $C_4^3 = C_3^2 + C_3^3 = 3 + 1 = 4$.
5. Заканчиваем строку единицей, так как $C_4^4 = 1$.

В результате получаем 4-ю строку:
$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Ответ: Чтобы вычислить числа в $n$-й строке, нужно знать, что первый и последний ее элементы равны 1, а каждый из остальных элементов равен сумме двух чисел, стоящих над ним в $(n-1)$-й строке. Формально это правило выражается тождеством Паскаля $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$ для $0 < k < n$.