Номер 5, страница 366, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §51. ч. 1 - номер 5, страница 366.

5. Объясните, почему вероятность любого события не может быть больше 1.

Классическое определение вероятности

Вероятность события — это числовая мера возможности его наступления. Согласно классическому определению, вероятность события $A$, обозначаемая как $P(A)$, вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных и несовместных исходов.

Формула для расчета вероятности выглядит следующим образом: $P(A) = \frac{m}{n}$
где:
- $m$ — это число благоприятных исходов (то есть исходов, при которых событие $A$ происходит).
- $n$ — это общее число всех возможных исходов эксперимента.

Анализ компонентов формулы

Рассмотрим значения, которые могут принимать $m$ и $n$:
1. Общее число исходов ($n$): Это количество всех возможных результатов эксперимента. По определению, это число не может быть отрицательным. В любом осмысленном эксперименте есть хотя бы один возможный исход, поэтому $n \ge 1$.
2. Число благоприятных исходов ($m$): Это количество тех результатов, которые соответствуют нашему событию. Это число также не может быть отрицательным, то есть $m \ge 0$.
3. Соотношение между $m$ и $n$: Благоприятные исходы являются подмножеством всех возможных исходов. Это означает, что число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов. В крайнем случае, когда событие является достоверным, все возможные исходы будут благоприятными. Таким образом, всегда выполняется неравенство: $m \le n$

Вывод и доказательство

Исходя из вышесказанного, мы имеем систему неравенств для числа исходов: $0 \le m \le n$

Теперь вернемся к формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$. Поскольку $n$ — положительное число ($n \ge 1$), мы можем разделить все части неравенства $0 \le m \le n$ на $n$, не меняя знаков неравенства: $\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Упростив это выражение, получаем: $0 \le P(A) \le 1$

Это неравенство математически доказывает, что вероятность любого события $A$ всегда находится в диапазоне от 0 до 1 включительно.

Интерпретация

- Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию. Это событие, которое обязательно произойдет в результате эксперимента (например, выпадение числа от 1 до 6 при броске стандартного шестигранного кубика). В этом случае число благоприятных исходов равно общему числу исходов ($m = n$).
- Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию. Это событие, которое никогда не произойдет (например, выпадение числа 7 при броске того же кубика). В этом случае число благоприятных исходов равно нулю ($m = 0$).

Вероятность можно трактовать как долю или процент (умножив на 100). Значение 1 соответствует 100%. Невозможно, чтобы событие произошло с вероятностью больше 100%, так как 100% уже означает полную гарантию его наступления. Таким образом, вероятность физически и логически не может быть больше 1.

Ответ: Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу всех возможных исходов ($n$). Так как благоприятные исходы являются частью всех возможных исходов, их число никогда не может превышать общее число исходов, то есть $m \le n$. При делении обеих частей этого неравенства на положительное число $n$ мы получаем $\frac{m}{n} \le 1$. Следовательно, вероятность любого события не может быть больше 1.