Страница 366, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Объясните, почему вероятность невозможного события всегда равна 0.

Вероятность события, согласно классическому определению, представляет собой отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Эта зависимость выражается формулой:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

• $P(A)$ — это вероятность наступления события A;
• $m$ — количество исходов, при которых событие A происходит (благоприятствующие исходы);
• $n$ — общее количество всех возможных и равновероятных исходов эксперимента.

Невозможным событием называется событие, которое в рамках проводимого эксперимента не может произойти ни при каких условиях. Иными словами, для невозможного события не существует ни одного благоприятствующего исхода.

Из этого определения следует, что для невозможного события число благоприятствующих исходов $m$ всегда равно нулю, то есть $m = 0$. При этом общее число исходов $n$ всегда является положительным числом ($n > 0$), так как эксперимент предполагает наличие хотя бы одного возможного исхода.

Подставляя значение $m = 0$ в формулу вероятности, мы получаем:

$P(\text{невозможное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n} = 0$

Так как деление нуля на любое положительное число $n$ всегда дает в результате ноль, вероятность невозможного события всегда равна 0.

Пример:

Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием стандартного шестигранного игрального кубика. Общее число всех возможных исходов $n$ равно 6 (могут выпасть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Пусть событие А заключается в том, что «на кубике выпадет число 7». Это событие является невозможным, потому что на гранях стандартного кубика нет числа 7. Следовательно, число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно 0.

Тогда вероятность события А вычисляется следующим образом:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$

Ответ: Вероятность невозможного события всегда равна 0, потому что по определению для такого события не существует благоприятствующих исходов. В классической формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов, для невозможного события $m = 0$. Поскольку частное от деления нуля на любое положительное число $n$ равно нулю, вероятность невозможного события всегда составляет 0.

5. Объясните, почему вероятность любого события не может быть больше 1.

Классическое определение вероятности

Вероятность события — это числовая мера возможности его наступления. Согласно классическому определению, вероятность события $A$, обозначаемая как $P(A)$, вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных и несовместных исходов.

Формула для расчета вероятности выглядит следующим образом: $P(A) = \frac{m}{n}$
где:
- $m$ — это число благоприятных исходов (то есть исходов, при которых событие $A$ происходит).
- $n$ — это общее число всех возможных исходов эксперимента.

Анализ компонентов формулы

Рассмотрим значения, которые могут принимать $m$ и $n$:
1. Общее число исходов ($n$): Это количество всех возможных результатов эксперимента. По определению, это число не может быть отрицательным. В любом осмысленном эксперименте есть хотя бы один возможный исход, поэтому $n \ge 1$.
2. Число благоприятных исходов ($m$): Это количество тех результатов, которые соответствуют нашему событию. Это число также не может быть отрицательным, то есть $m \ge 0$.
3. Соотношение между $m$ и $n$: Благоприятные исходы являются подмножеством всех возможных исходов. Это означает, что число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов. В крайнем случае, когда событие является достоверным, все возможные исходы будут благоприятными. Таким образом, всегда выполняется неравенство: $m \le n$

Вывод и доказательство

Исходя из вышесказанного, мы имеем систему неравенств для числа исходов: $0 \le m \le n$

Теперь вернемся к формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$. Поскольку $n$ — положительное число ($n \ge 1$), мы можем разделить все части неравенства $0 \le m \le n$ на $n$, не меняя знаков неравенства: $\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Упростив это выражение, получаем: $0 \le P(A) \le 1$

Это неравенство математически доказывает, что вероятность любого события $A$ всегда находится в диапазоне от 0 до 1 включительно.

Интерпретация

- Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию. Это событие, которое обязательно произойдет в результате эксперимента (например, выпадение числа от 1 до 6 при броске стандартного шестигранного кубика). В этом случае число благоприятных исходов равно общему числу исходов ($m = n$).
- Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию. Это событие, которое никогда не произойдет (например, выпадение числа 7 при броске того же кубика). В этом случае число благоприятных исходов равно нулю ($m = 0$).

Вероятность можно трактовать как долю или процент (умножив на 100). Значение 1 соответствует 100%. Невозможно, чтобы событие произошло с вероятностью больше 100%, так как 100% уже означает полную гарантию его наступления. Таким образом, вероятность физически и логически не может быть больше 1.

Ответ: Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу всех возможных исходов ($n$). Так как благоприятные исходы являются частью всех возможных исходов, их число никогда не может превышать общее число исходов, то есть $m \le n$. При делении обеих частей этого неравенства на положительное число $n$ мы получаем $\frac{m}{n} \le 1$. Следовательно, вероятность любого события не может быть больше 1.

6. Чему равна сумма вероятности любого события и вероятности противоположного ему события?

Сумма вероятности любого события и вероятности противоположного ему события всегда равна 1.

Это является одним из фундаментальных свойств в теории вероятностей. Рассмотрим подробнее, почему это так.

Пусть у нас есть некоторое случайное событие $A$. Вероятность этого события обозначается как $P(A)$.

Противоположным событием (или дополнением) к событию $A$ называется событие $\bar{A}$, которое заключается в том, что событие $A$ не произошло.

Ключевой момент заключается в том, что в результате любого испытания обязательно произойдет либо событие $A$, либо противоположное ему событие $\bar{A}$. Эти два события охватывают все возможные исходы и не могут произойти одновременно. В терминах теории вероятностей их объединение образует достоверное событие — событие, которое происходит всегда, а его вероятность по определению равна 1.

Поскольку события $A$ и $\bar{A}$ несовместны (не могут случиться вместе), вероятность их объединения (то есть наступления хотя бы одного из них) равна сумме их вероятностей. Это можно записать в виде формулы:

$P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A})$

Так как объединение $A$ и $\bar{A}$ является достоверным событием, вероятность которого, как мы установили, равна 1, мы получаем итоговое равенство:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Проиллюстрируем это на примере. Возьмем игральный кубик с шестью гранями. Пусть событие $A$ — «выпало число, большее 4» (то есть 5 или 6). Всего в кубике 6 равновероятных исходов. Благоприятных исходов для события $A$ два. Вероятность события $A$ равна:

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Противоположное событие $\bar{A}$ — «не выпало число, большее 4». Это означает, что выпало число, меньшее или равное 4 (то есть 1, 2, 3 или 4). Количество благоприятных исходов для $\bar{A}$ равно 4. Вероятность противоположного события:

$P(\bar{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем сумму этих вероятностей:

$P(A) + P(\bar{A}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Как мы видим, сумма равна 1. Этот принцип справедлив для любого без исключения события.

Ответ: 1