Страница 365, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте классическое определение вероятности.

1.

Классическое определение вероятности применяется для нахождения вероятности случайного события в тех случаях, когда можно определить конечное число всех возможных и равновероятных исходов некоторого испытания.

Согласно этому определению, вероятностью события A называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, которые могут произойти в результате данного испытания.

Математически это выражается следующей формулой:

$P(A) = \frac{m}{n}$

В этой формуле:
$P(A)$ — это вероятность наступления события A.
$m$ — это число элементарных исходов, которые благоприятствуют наступлению события A (т.е. тех исходов, при которых событие A происходит).
$n$ — это общее число всех возможных элементарных исходов данного испытания.

Для применимости классического определения вероятности необходимо выполнение следующих условий:

• Число всех возможных исходов испытания должно быть конечным.
• Все исходы должны быть несовместными, то есть появление одного из них должно исключать появление любого другого в том же испытании.
• Все исходы должны быть равновозможными, то есть нет никаких оснований полагать, что какой-либо из исходов является более вероятным, чем другие.

Например, при подбрасывании идеальной игральной кости общее число равновозможных исходов $n=6$ (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Если событие A — это «выпадение четного числа», то благоприятствующими исходами будут 2, 4, 6, то есть их число $m=3$. Тогда вероятность события A будет равна $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Классическое определение вероятности гласит, что вероятность события A равна отношению числа $m$ благоприятствующих этому событию исходов к общему числу $n$ всех равновозможных и несовместных элементарных исходов эксперимента. Формула: $P(A) = \frac{m}{n}$.

2. Перечислите шаги нахождения вероятности случайного события.

Для нахождения вероятности случайного события, в рамках классического определения, необходимо выполнить следующие последовательные шаги:

1. Определение общего числа элементарных исходов

   Первым делом нужно установить, из каких элементарных, равновозможных и несовместных исходов состоит эксперимент. Необходимо подсчитать их общее количество, которое обозначается буквой $n$. Равновозможные исходы — это те, у которых нет объективных причин появляться чаще или реже других.

   Например: при броске стандартного игрального кубика существует 6 равновозможных исходов (выпадение грани с числом 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Следовательно, общее число исходов $n = 6$.

2. Определение числа благоприятствующих исходов

   Далее следует определить, какие из всех возможных исходов приводят к наступлению интересующего нас события (назовем его событие A). Эти исходы называются благоприятствующими. Нужно подсчитать их количество, которое обозначается буквой $m$.

   Например: пусть событие A — «выпадение четного числа очков». Этому событию благоприятствуют исходы, когда на кубике выпадает 2, 4 или 6. Количество таких исходов равно 3, то есть $m = 3$.

3. Расчет вероятности

   Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятствующих ему исходов $m$ к общему числу всех равновозможных элементарных исходов $n$. Для этого применяется классическая формула вероятности:

   $P(A) = \frac{m}{n}$

   Например: для нашего примера с кубиком вероятность выпадения четного числа очков составит: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Для нахождения вероятности случайного события необходимо: 1) определить общее число всех равновозможных исходов эксперимента ($n$); 2) определить число исходов, благоприятствующих данному событию ($m$); 3) вычислить вероятность как отношение числа благоприятствующих исходов к их общему числу по формуле $P = m/n$.

3. Объясните, почему вероятность достоверного события всегда равна 1.

Вероятность достоверного события всегда равна 1, и это утверждение можно объяснить с двух основных позиций: с точки зрения классического определения вероятности и с точки зрения аксиоматического подхода.

Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию ($m$), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов ($n$). Формула выглядит так:
$P(A) = \frac{m}{n}$

Достоверным событием называется такое событие, которое в результате испытания произойдет со 100% гарантией. Это означает, что абсолютно любой возможный исход испытания является благоприятствующим для этого события.
Отсюда следует, что для достоверного события число благоприятствующих исходов $m$ в точности равно общему числу всех возможных исходов $n$.
$m = n$

Если подставить это равенство в формулу вероятности, мы получим:
$P(\text{достоверное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1$

Пример: Возьмем игральный кубик. Событие "при броске выпадет число от 1 до 6" является достоверным.
Общее число возможных исходов $n = 6$ (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
Число благоприятствующих исходов $m = 6$ (все 6 исходов удовлетворяют условию).
Вероятность этого события равна: $P = \frac{6}{6} = 1$.

Аксиоматический подход

В современной математике теория вероятностей строится на системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым. В этом подходе вероятность — это функция, которая сопоставляет каждому событию число, и эта функция должна удовлетворять нескольким правилам (аксиомам).

Достоверное событие в этой теории соответствует всему пространству элементарных исходов $\Omega$ (то есть множеству всех возможных результатов эксперимента).

Одна из ключевых аксиом (аксиома нормировки) прямо постулирует, что вероятность всего пространства исходов равна единице:
$P(\Omega) = 1$

Это означает, что по самому определению, принятому в современной математике, вероятность события, которое включает в себя все возможные исходы (т.е. достоверного события), равна 1. Это не столько доказывается, сколько принимается за основу, на которой строится вся дальнейшая теория.

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1, так как по классическому определению для такого события число благоприятных исходов равно общему числу всех исходов ($m=n$), и их отношение $m/n$ равно 1. В более строгом аксиоматическом подходе это утверждение является одной из фундаментальных аксиом теории вероятностей.