Страница 359, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7. Чему равна сумма всех процентных частот произвольного ряда данных?

Сумма всех процентных частот произвольного ряда данных всегда равна 100%. Это фундаментальное свойство статистических данных, которое следует из самого определения процентной частоты. Давайте разберем это подробно.

Основные понятия

• Ряд данных — это полная совокупность наблюдений. Обозначим общее количество элементов в этом ряду (объем выборки) как $N$.
• Частота ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз конкретное значение (или вариант) $x_i$ встречается в ряду данных.
• Сумма частот всех без исключения вариантов в ряду данных равна общему объему выборки. Если в ряду есть $k$ различных вариантов, то: $n_1 + n_2 + \dots + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i = N$
• Процентная частота ($P_i$) — это относительная частота, выраженная в процентах. Она показывает, какую долю от общего количества данных составляет данный вариант. Формула для расчета: $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Математическое доказательство

Чтобы найти сумму всех процентных частот, необходимо сложить процентные частоты всех $k$ вариантов, из которых состоит ряд данных: $\text{Сумма} = P_1 + P_2 + \dots + P_k = \sum_{i=1}^{k} P_i$

Подставим в это выражение формулу для процентной частоты для каждого варианта: $\sum_{i=1}^{k} P_i = \left(\frac{n_1}{N} \times 100\%\right) + \left(\frac{n_2}{N} \times 100\%\right) + \dots + \left(\frac{n_k}{N} \times 100\%\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{100\%}{N}$ за скобки (или за знак суммы, что математически эквивалентно): $\sum_{i=1}^{k} P_i = \frac{100\%}{N} \times (n_1 + n_2 + \dots + n_k) = \frac{100\%}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i$

Как мы установили ранее, сумма всех частот $\sum_{i=1}^{k} n_i$ равна общему объему выборки $N$. Заменим сумму в скобках на $N$: $\sum_{i=1}^{k} P_i = \frac{100\%}{N} \times N$

Сокращая $N$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат: $\sum_{i=1}^{k} P_i = 100\%$

Этот результат не зависит от конкретных значений в ряду данных или их распределения, поэтому он верен для произвольного ряда данных. Сумма всех частей (процентных частот) всегда составляет целое, а в процентном выражении целое — это 100%.

Ответ: 100%.

8. Сформулируйте алгоритм вычисления дисперсии ряда данных.

Дисперсия — это мера разброса данных в ряде. Она показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего арифметического. Алгоритм вычисления дисперсии состоит из следующих шагов:

1. Найти среднее арифметическое ряда данных.

   Для ряда данных $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$, где $n$ — количество элементов, среднее арифметическое (математическое ожидание) $\bar{x}$ вычисляется по формуле:

   $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

2. Вычислить отклонение каждого элемента от среднего.

   Для каждого элемента $x_i$ в ряду данных находится разность между этим элементом и средним арифметическим, вычисленным на первом шаге: $(x_i - \bar{x})$.

3. Возвести каждое отклонение в квадрат.

   Квадрат отклонения для каждого элемента вычисляется как $(x_i - \bar{x})^2$. Возведение в квадрат позволяет избавиться от отрицательных значений (поскольку некоторые данные будут меньше среднего, а некоторые — больше) и придать больший "вес" значительным отклонениям.

4. Найти сумму квадратов отклонений.

   Все значения, полученные на предыдущем шаге, суммируются:

   $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

5. Вычислить среднее значение квадратов отклонений (собственно, дисперсию).

   Сумма квадратов отклонений, полученная на шаге 4, делится на количество элементов. Этот результат и является дисперсией (обозначается как $\sigma^2$ или $D(X)$).

   $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Важное примечание о генеральной совокупности и выборке:

Выбор знаменателя в последнем шаге ( $n$ или $n-1$ ) зависит от того, представляют ли ваши данные всю совокупность или только её часть (выборку).

• Если ряд данных — это генеральная совокупность (т.е. все возможные данные по изучаемому вопросу), используется формула со знаменателем $n$. Эта дисперсия называется смещённой.

• Если ряд данных — это выборка из генеральной совокупности (что чаще встречается на практике), то для получения несмещённой оценки дисперсии всей совокупности используется так называемая выборочная (или исправленная) дисперсия $s^2$. Она рассчитывается с использованием знаменателя $n-1$ (поправка Бесселя):

  $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

Ответ: Алгоритм вычисления дисперсии для ряда данных $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ включает следующие шаги: 1. Найти среднее арифметическое ряда $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$. 2. Для каждого элемента $x_i$ найти квадрат его отклонения от среднего: $(x_i - \bar{x})^2$. 3. Просуммировать все полученные квадраты отклонений: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. 4. Разделить полученную сумму на количество элементов $n$ для вычисления дисперсии генеральной совокупности ($\sigma^2$) или на $n-1$ для вычисления несмещённой выборочной дисперсии ($s^2$).

9. У каких рядов данных дисперсия равна нулю?

Дисперсия является мерой разброса или изменчивости данных. Она показывает, насколько далеко в среднем расположены значения в наборе данных от их среднего арифметического.

Формула для вычисления дисперсии ($\sigma^2$) выглядит следующим образом:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где:

• $x_i$ — это каждый отдельный элемент в ряду данных.
• $\bar{x}$ — это среднее арифметическое всех элементов ряда.
• $n$ — это общее количество элементов в ряду.

Чтобы значение дисперсии было равно нулю ($\sigma^2 = 0$), необходимо, чтобы числитель в этой формуле был равен нулю:

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 0$

Числитель представляет собой сумму квадратов отклонений каждого элемента от среднего значения. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным (то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$), сумма таких неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: если каждое слагаемое в этой сумме равно нулю.

Таким образом, для каждого элемента $x_i$ в ряду должно выполняться условие:

$(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Это, в свою очередь, означает, что:

$x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$

Это равенство говорит о том, что каждый элемент ряда данных должен быть равен среднему арифметическому этого же ряда. Такое возможно только тогда, когда все элементы в ряду данных абсолютно одинаковы.

Например, для ряда данных {5, 5, 5, 5} среднее значение $\bar{x} = 5$. Отклонение каждого элемента от среднего равно $5 - 5 = 0$. Сумма квадратов отклонений будет $0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$, и дисперсия будет равна 0. Если же в ряду есть хотя бы два различных элемента, например {5, 5, 5, 6}, дисперсия уже не будет равна нулю.

Ответ: Дисперсия равна нулю у тех рядов данных, в которых все элементы одинаковы.