Номер 7, страница 359, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §50. ч. 1 - номер 7, страница 359.

7. Чему равна сумма всех процентных частот произвольного ряда данных?

Сумма всех процентных частот произвольного ряда данных всегда равна 100%. Это фундаментальное свойство статистических данных, которое следует из самого определения процентной частоты. Давайте разберем это подробно.

Основные понятия

• Ряд данных — это полная совокупность наблюдений. Обозначим общее количество элементов в этом ряду (объем выборки) как $N$.
• Частота ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз конкретное значение (или вариант) $x_i$ встречается в ряду данных.
• Сумма частот всех без исключения вариантов в ряду данных равна общему объему выборки. Если в ряду есть $k$ различных вариантов, то: $n_1 + n_2 + \dots + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i = N$
• Процентная частота ($P_i$) — это относительная частота, выраженная в процентах. Она показывает, какую долю от общего количества данных составляет данный вариант. Формула для расчета: $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Математическое доказательство

Чтобы найти сумму всех процентных частот, необходимо сложить процентные частоты всех $k$ вариантов, из которых состоит ряд данных: $\text{Сумма} = P_1 + P_2 + \dots + P_k = \sum_{i=1}^{k} P_i$

Подставим в это выражение формулу для процентной частоты для каждого варианта: $\sum_{i=1}^{k} P_i = \left(\frac{n_1}{N} \times 100\%\right) + \left(\frac{n_2}{N} \times 100\%\right) + \dots + \left(\frac{n_k}{N} \times 100\%\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{100\%}{N}$ за скобки (или за знак суммы, что математически эквивалентно): $\sum_{i=1}^{k} P_i = \frac{100\%}{N} \times (n_1 + n_2 + \dots + n_k) = \frac{100\%}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i$

Как мы установили ранее, сумма всех частот $\sum_{i=1}^{k} n_i$ равна общему объему выборки $N$. Заменим сумму в скобках на $N$: $\sum_{i=1}^{k} P_i = \frac{100\%}{N} \times N$

Сокращая $N$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат: $\sum_{i=1}^{k} P_i = 100\%$

Этот результат не зависит от конкретных значений в ряду данных или их распределения, поэтому он верен для произвольного ряда данных. Сумма всех частей (процентных частот) всегда составляет целое, а в процентном выражении целое — это 100%.

Ответ: 100%.