Номер 4, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §50. ч. 1 - номер 4, страница 358.

4. Как по сгруппированному ряду данных составить таблицу распределения?

Для составления таблицы распределения по сгруппированному ряду данных необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Сгруппированный ряд данных — это уже обработанная информация, где все значения выборки распределены по определенным интервалам (или группам). Таблица распределения позволяет наглядно представить структуру данных, рассчитать их основные характеристики и подготовить для дальнейшего анализа (например, для построения гистограммы или полигона частот).

Рассмотрим процесс на примере.

Шаг 1. Подготовка основы таблицы и внесение исходных данных

Сначала создается структура таблицы. В первые два столбца вносятся данные из сгруппированного ряда:

• Интервалы (группы) $x_i$: Перечисляются все интервалы, на которые разбита выборка.
• Частота $f_i$: Для каждого интервала указывается соответствующая ему частота — количество наблюдений, попавших в этот интервал.

Далее необходимо найти общий объем выборки $N$, который равен сумме всех частот: $N = \sum_{i=1}^{k} f_i$, где $k$ — количество групп.

Шаг 2. Расчет относительной частоты

Относительная частота $w_i$ показывает долю каждой группы в общем объеме выборки. Она рассчитывается для каждого интервала по формуле:

$w_i = \frac{f_i}{N}$

Сумма всех относительных частот всегда должна быть равна 1 (или 100%, если выражать в процентах): $\sum_{i=1}^{k} w_i = 1$. Этот столбец добавляется в таблицу.

Шаг 3. Расчет накопленных частот (кумулятивных частот)

Этот шаг является необязательным, но часто полезен для анализа. Накопленные частоты показывают, какое количество или какая доля наблюдений имеет значение, меньшее или равное верхней границе текущего интервала.

• Накопленная частота для $i$-го интервала вычисляется как сумма частоты этого интервала и всех предыдущих частот. Накопленная частота последней группы всегда равна общему объему выборки $N$.
• Накопленная относительная частота для $i$-го интервала вычисляется как сумма относительной частоты этого интервала и всех предыдущих относительных частот. Накопленная относительная частота последней группы всегда равна 1.

Пример

Предположим, у нас есть сгруппированные данные о результатах тестирования 40 студентов (оценки по 50-балльной шкале):

• Интервал [0, 10): 2 студента
• Интервал [10, 20): 5 студентов
• Интервал [20, 30): 12 студентов
• Интервал [30, 40): 15 студентов
• Интервал [40, 50]: 6 студентов

Общий объем выборки: $N = 2 + 5 + 12 + 15 + 6 = 40$.

Теперь составим таблицу распределения, выполнив необходимые расчеты.

Расчет относительных частот ($w_i = f_i / 40$):

• Для [0, 10): $w_1 = 2 / 40 = 0.05$
• Для [10, 20): $w_2 = 5 / 40 = 0.125$
• Для [20, 30): $w_3 = 12 / 40 = 0.30$
• Для [30, 40): $w_4 = 15 / 40 = 0.375$
• Для [40, 50]: $w_5 = 6 / 40 = 0.15$

Проверка: $0.05 + 0.125 + 0.30 + 0.375 + 0.15 = 1.0$.

Расчет накопленных частот:

• Для [0, 10): 2
• Для [10, 20): $2 + 5 = 7$
• Для [20, 30): $7 + 12 = 19$
• Для [30, 40): $19 + 15 = 34$
• Для [40, 50]: $34 + 6 = 40$

Расчет накопленных относительных частот:

• Для [0, 10): 0.05
• Для [10, 20): $0.05 + 0.125 = 0.175$
• Для [20, 30): $0.175 + 0.30 = 0.475$
• Для [30, 40): $0.475 + 0.375 = 0.850$
• Для [40, 50]: $0.850 + 0.15 = 1.0$

Итоговая таблица распределения будет выглядеть следующим образом:

Интервалы оценок	Частота ($f_i$)	Относительная частота ($w_i$)	Накопленная частота	Накопленная относительная частота
[0, 10)	2	0.050	2	0.050
[10, 20)	5	0.125	7	0.175
[20, 30)	12	0.300	19	0.475
[30, 40)	15	0.375	34	0.850
[40, 50]	6	0.150	40	1.000
Итого	$N=40$	1.000	-	-

Ответ: Чтобы составить таблицу распределения по сгруппированному ряду данных, необходимо создать таблицу, в которую вносятся заданные интервалы и их частоты. Затем для каждого интервала вычисляется относительная частота путем деления частоты интервала на общий объем выборки. При необходимости также вычисляются накопленные (кумулятивные) частоты и накопленные относительные частоты путем последовательного суммирования значений в соответствующих столбцах.