Номер 1, страница 341, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 8 - номер 1, страница 341.

Условие.

1. Из истории создания интегрального исчисления.

Решение 6.

Интегральное исчисление — это раздел высшей математики, изучающий свойства интегралов и их приложения, в первую очередь для нахождения площадей криволинейных фигур, объемов тел, длин дуг и решения дифференциальных уравнений. Его создание было длительным процессом, который можно разделить на несколько ключевых этапов.

Предпосылки в античности: метод исчерпывания

Истоки интегрального исчисления можно найти в работах математиков Древней Греции. Для нахождения площадей и объемов они использовали метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским в IV в. до н.э. Суть метода состояла в том, чтобы приблизить сложную фигуру (например, круг) последовательностью более простых фигур (например, вписанных и описанных многоугольников), площади которых можно было вычислить. Увеличивая число сторон многоугольников, можно было "исчерпать" разницу между их площадью и площадью искомой фигуры, таким образом находя ее с любой желаемой точностью.

Наивысшего развития этот метод достиг в трудах Архимеда (III в. до н.э.). С его помощью он смог точно вычислить площадь сегмента параболы, площадь поверхности и объем шара, доказав, что объем шара равен $2/3$ объема описанного около него цилиндра. Работы Архимеда являются прямым предшественником современного интегрального исчисления.

Развитие в Европе: метод неделимых

После длительного застоя научная мысль в Европе в XVI-XVII веках вернулась к задачам на вычисление площадей и объемов. Важным шагом вперед стал метод неделимых, разработанный итальянским математиком Бонавентурой Кавальери. Он представлял плоскую фигуру как совокупность бесконечного числа параллельных отрезков ("неделимых"), а пространственное тело — как совокупность бесконечного числа параллельных плоских сечений. Суммируя эти элементы, он вычислял площади и объемы. Несмотря на недостаточную строгость, метод давал верные результаты и значительно расширил класс решаемых задач.

Параллельно с Кавальери, другие европейские ученые, такие как Иоганн Кеплер (вычислял объемы винных бочек), Пьер де Ферма, Блез Паскаль и Джон Валлис, разработали методы для вычисления площадей под кривыми вида $y = x^n$ для целых и дробных показателей степени.

Создание анализа: Ньютон и Лейбниц

Революционный прорыв, ознаменовавший рождение математического анализа, произошел во второй половине XVII века благодаря работам Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Независимо друг от друга они открыли фундаментальную взаимосвязь между задачами нахождения касательной к кривой (дифференцирование) и нахождения площади под кривой (интегрирование). Эта связь выражается основной теоремой анализа, известной как формула Ньютона-Лейбница:

$ \int_{a}^{b} F'(x) \,dx = F(b) - F(a) $

Эта формула свела задачу вычисления определенного интеграла к более простой задаче нахождения первообразной функции.

Исаак Ньютон разработал свой "метод флюксий" (производных) и "флюент" (первообразных), рассматривая математические величины в их динамическом изменении. Он успешно применял свой аппарат для решения сложнейших задач небесной механики.

Готфрид Вильгельм Лейбниц создал свою версию анализа, исходя из геометрических соображений. Он рассматривал интеграл как сумму бесконечно малых прямоугольников и ввел чрезвычайно удобную символику, которая используется и поныне: знак интеграла $ \int $ (от лат. summa — сумма) и дифференциала $dx$.

Несмотря на ожесточенный спор о приоритете, сегодня научное сообщество признает обоих ученых создателями интегрального и дифференциального исчисления.

Эпоха строгости: Коши, Риман, Лебег

В XVIII веке благодаря работам Леонарда Эйлера и других математиков анализ был систематизирован и получил множество приложений. Однако его логические основы, опиравшиеся на интуитивное понятие "бесконечно малых", оставались шаткими. XIX век стал эпохой придания анализу строгой логической формы.

Огюстен Луи Коши ввел строгие определения предела, непрерывности и производной. Он определил интеграл для непрерывной функции как предел интегральных сумм (сумм Коши).

Бернхард Риман обобщил понятие интеграла, данное Коши, на более широкий класс функций, включая некоторые разрывные функции. Определение интеграла Римана через верхние и нижние суммы Дарбу до сих пор является стандартом в базовых курсах математического анализа.

В начале XX века Анри Лебег, опираясь на созданную им теорию меры, разработал более общее и мощное понятие интеграла Лебега. Оно позволяет интегрировать значительно более широкий класс функций и обладает лучшими свойствами при предельных переходах, что делает его фундаментальным инструментом в современной математике, функциональном анализе и теории вероятностей.

Ответ: История создания интегрального исчисления — это многовековой процесс эволюции математической мысли. Он начался с "метода исчерпывания" в Древней Греции (Евдокс, Архимед), получил развитие в XVII веке в виде "метода неделимых" (Кавальери) и завершился созданием полноценного математического анализа благодаря трудам Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Они установили фундаментальную связь между операциями дифференцирования и интегрирования (формула Ньютона-Лейбница). Последующая работа математиков XIX-XX веков (Коши, Риман, Лебег) придала интегральному исчислению строгую логическую форму и обобщила его до современного состояния.