Номер 6, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §49 - номер 6, страница 339.

Условие.

6. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывная неотрицательная функция на отрезке $[3; 5]$?

Решение 6.

Площадь фигуры, называемой криволинейной трапецией, которая ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется с помощью определённого интеграла.

В данном случае условия полностью соответствуют определению криволинейной трапеции:

• Верхняя граница — график функции $y = f(x)$, которая непрерывна и неотрицательна на отрезке $[3; 5]$.
• Нижняя граница — ось абсцисс ($y = 0$).
• Боковые границы — вертикальные прямые $x = 3$ и $x = 5$.

Следовательно, пределы интегрирования равны $a = 3$ и $b = 5$.

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь $S$ такой фигуры равна значению определённого интеграла от функции $f(x)$ на отрезке $[3; 5]$. Формула для вычисления площади выглядит следующим образом: $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Для вычисления значения этого интеграла применяется основная теорема анализа, известная как формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$ Здесь $F(x)$ — это любая первообразная для функции $f(x)$, то есть такая функция, производная которой равна $f(x)$ (иначе говоря, $F'(x) = f(x)$).

Таким образом, алгоритм вычисления площади сводится к следующему:

1. Найти первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$.
2. Вычислить значение первообразной на верхнем пределе интегрирования, то есть $F(5)$.
3. Вычислить значение первообразной на нижнем пределе интегрирования, то есть $F(3)$.
4. Найти разность этих значений: $S = F(5) - F(3)$.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$ и $y = f(x)$, вычисляется по формуле определенного интеграла $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$. Для нахождения численного значения необходимо найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$ и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: $S = F(5) - F(3)$.