Номер 5, страница 330, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §48 - номер 5, страница 330.

Условие.

5. Напишите общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $X$, если известно, что $F(x)$ — одна из первообразных.

Решение 6.

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y=f(x)$ на заданном промежутке $X$, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В условии задачи дано, что $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$.

Предположим, что существует другая первообразная для $f(x)$, назовём её $G(x)$. По определению, для неё также должно выполняться равенство $G'(x) = f(x)$ для всех $x \in X$.

Рассмотрим разность этих двух первообразных: $H(x) = G(x) - F(x)$.

Найдём производную этой разности, используя свойство производной разности функций:

$H'(x) = (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x)$

Поскольку $G'(x) = f(x)$ и $F'(x) = f(x)$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение:

$H'(x) = f(x) - f(x) = 0$

Мы получили, что производная функции $H(x)$ равна нулю на всём промежутке $X$. Согласно следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции на некотором промежутке равна нулю, то эта функция является постоянной (константой) на этом промежутке. Следовательно, существует такое число $C$, что $H(x) = C$ для всех $x \in X$.

Вспоминая, что $H(x) = G(x) - F(x)$, получаем:

$G(x) - F(x) = C$

Отсюда следует, что любая первообразная $G(x)$ может быть выражена через известную первообразную $F(x)$ следующим образом:

$G(x) = F(x) + C$

Это означает, что всё множество первообразных для функции $f(x)$ отличается от одной конкретной первообразной $F(x)$ на произвольную постоянную $C$.

Таким образом, выражение $F(x) + C$ представляет собой общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$.

Ответ: Общий вид всех первообразных для функции $y=f(x)$ на промежутке $X$ имеет вид $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.