Номер 5, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §49. ч. 1 - номер 5, страница 339.

5. Что такое криволинейная трапеция?

Криволинейная трапеция — это плоская фигура в декартовой системе координат, ограниченная графиком непрерывной функции $y = f(x)$, осью абсцисс (Ox) и двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

Для классического определения криволинейной трапеции необходимо, чтобы функция $y = f(x)$ была не только непрерывной, но и неотрицательной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из этого отрезка. Таким образом, границы фигуры определяются:
- сверху: графиком функции $y=f(x)$;
- снизу: отрезком $[a, b]$ на оси Ox;
- по бокам: вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Основное значение понятия криволинейной трапеции заключается в его связи с интегральным исчислением. Площадь $S$ такой фигуры равна значению определённого интеграла от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$. Это выражается формулой Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Эта формула представляет собой геометрическую интерпретацию определённого интеграла.

Если функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ непрерывна, но является неположительной ($f(x) \le 0$), то фигура, ограниченная её графиком, осью Ox и прямыми $x=a$, $x=b$, будет расположена под осью абсцисс. Её площадь также можно найти через интеграл, взяв его по модулю:

$S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right| = -\int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс, а также прямыми $x=a$ и $x=b$. Её площадь вычисляется как определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.