Номер 4, страница 330, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §48. ч. 1 - номер 4, страница 330.

4. Какое из приведённых ниже утверждений верно, а какое — нет:

а) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$;

б) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$?

Чтобы определить, какое из утверждений верно, а какое нет, необходимо проверить каждое из них, используя определение первообразной. Если функция $G(x)$ является первообразной для функции $g(x)$, то должно выполняться равенство $G'(x) = g(x)$.

По условию задачи, $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$.

а)

Проверим утверждение: если $y = F(x)$ — первообразная для $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$.

Для этого нужно найти производную от предполагаемой первообразной $G(x) = kF(kx + b)$ и сравнить её с функцией $f(kx + b)$.

Найдём производную $G'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, и правило вынесения константы за знак производной.

$G'(x) = (kF(kx + b))' = k \cdot (F(kx + b))'$

Здесь внешняя функция — это $F(u)$, а внутренняя — $u(x) = kx + b$. Производная внутренней функции равна $(kx + b)' = k$.

Следовательно:

$G'(x) = k \cdot F'(kx + b) \cdot (kx + b)' = k \cdot F'(kx + b) \cdot k = k^2 F'(kx + b)$.

Поскольку по условию $F'(x) = f(x)$, мы можем заменить $F'(kx + b)$ на $f(kx + b)$:

$G'(x) = k^2 f(kx + b)$.

Полученное выражение $k^2 f(kx + b)$ в общем случае не равно $f(kx + b)$. Равенство выполняется только при $k^2=1$, то есть при $k=1$ или $k=-1$. Так как это верно не для всех $k$, утверждение в целом является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

б)

Проверим утверждение: если $y = F(x)$ — первообразная для $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$. (Предполагается, что $k \neq 0$).

Найдём производную от предполагаемой первообразной $H(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ и сравним её с функцией $f(kx + b)$.

Используем те же правила дифференцирования, что и в пункте а):

$H'(x) = \left(\frac{1}{k}F(kx + b)\right)' = \frac{1}{k} \cdot (F(kx + b))'$

Производная от $F(kx + b)$ равна $F'(kx + b) \cdot (kx + b)' = F'(kx + b) \cdot k$.

Подставим это в выражение для $H'(x)$:

$H'(x) = \frac{1}{k} \cdot (F'(kx + b) \cdot k)$.

Сократим множитель $k$:

$H'(x) = F'(kx + b)$.

Используя условие $F'(x) = f(x)$, заменяем $F'(kx + b)$ на $f(kx + b)$:

$H'(x) = f(kx + b)$.

Производная функции $H(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ в точности равна $f(kx + b)$. Следовательно, это утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.