Номер 9, страница 321, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 9, страница 321.

9. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Угол, который касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси абсцисс, определяется тангенсом этого угла. Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой же точке. Обозначим искомый угол как $\alpha$, а угловой коэффициент касательной как $k$. Тогда справедливо равенство $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.

В данной задаче рассматривается функция $y = \ln x$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Найдем производную функции $y = \ln x$:
$y' = f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:
$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.

3. Теперь, зная угловой коэффициент, найдем сам угол $\alpha$. Так как $k = \tan \alpha$, получаем уравнение:
$\tan \alpha = 1$.

Решением этого уравнения для угла наклона прямой является $\alpha = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах).

Таким образом, касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x=1$ имеет угловой коэффициент, равный 1, и образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Для функции $y = \ln x$ производная равна $y' = \frac{1}{x}$. В точке $x = 1$ значение производной $y'(1) = \frac{1}{1} = 1$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс, то есть $k = \tan \alpha$. Следовательно, $\tan \alpha = 1$, откуда $\alpha = 45^\circ$.