Номер 3, страница 320, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 3, страница 320.

3. Чему равна производная функции $y = e^x$?

Экспоненциальная функция $y = e^x$ (или экспонента) занимает особое место в математическом анализе. Её основание — это число Эйлера $e$, иррациональная константа, приблизительно равная $2.71828$. Уникальность этой функции заключается в том, что скорость её роста в любой точке (которая и выражается производной) равна значению самой функции в этой же точке.

Согласно основному правилу дифференцирования, производная функции $e^x$ равна самой функции $e^x$. Это одна из фундаментальных формул в таблице производных:

$ (e^x)' = e^x $

Доказательство через общую формулу:

Можно прийти к этому результату, используя общую формулу для производной показательной функции $y = a^x$, где $a$ — положительное основание, не равное 1:

$ (a^x)' = a^x \ln(a) $

В нашем случае основание $a$ равно числу Эйлера $e$. Подставим $a=e$ в эту формулу:

$ (e^x)' = e^x \ln(e) $

Натуральный логарифм $ \ln(x) $ — это логарифм по основанию $e$, то есть $ \ln(x) = \log_e(x) $. Следовательно, $ \ln(e) = \log_e(e) = 1 $.

Подставив $ \ln(e) = 1 $ в наше выражение, получаем окончательный результат:

$ (e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x $

Таким образом, производная функции $y = e^x$ действительно равна $e^x$.

Ответ: $e^x$.