Номер 7, страница 321, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 7, страница 321.

7. Есть ли асимптоты у графиков функций $y = e^x$ и $y = \ln x$? Если есть, то запишите их уравнения.

Да, у графиков обеих функций есть асимптоты. Проанализируем каждую функцию отдельно, чтобы найти их уравнения.

График функции $y=e^x$

Асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по мере удаления точки графика в бесконечность. Проверим наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

• Вертикальные асимптоты. Функция $y=e^x$ определена и непрерывна для всех действительных чисел (область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$). Поскольку у функции нет точек разрыва, где она стремилась бы к бесконечности, вертикальных асимптот у ее графика нет.
• Горизонтальные и наклонные асимптоты. Их наличие определяется поведением функции на бесконечности (при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$).
  Рассмотрим предел при $x \to +\infty$: $$ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty $$ Так как предел не является конечным числом, горизонтальной асимптоты справа нет. Проверка на наклонную асимптоту $y=kx+b$ также показывает ее отсутствие, так как коэффициент $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.
  Рассмотрим предел при $x \to -\infty$: $$ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 $$ Поскольку предел конечен и равен нулю, прямая $y=0$ является левосторонней горизонтальной асимптотой.

Таким образом, у графика функции $y=e^x$ есть одна асимптота.
Ответ: горизонтальная асимптота $y=0$.

График функции $y=\ln x$

Проведем аналогичный анализ для функции натурального логарифма.

• Вертикальные асимптоты. Область определения функции $y=\ln x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Вертикальная асимптота может существовать на границе области определения. Найдем предел при $x$, стремящемся к $0$ справа: $$ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty $$ Поскольку односторонний предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальные и наклонные асимптоты. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ (так как функция определена только для $x > 0$).
  Найдем предел функции: $$ \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty $$ Так как предел бесконечен, горизонтальной асимптоты нет.
  Проверим наличие наклонной асимптоты $y=kx+b$. Найдем коэффициент $k$: $$ k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} $$ Используя правило Лопиталя для неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$, получаем: $$ k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ Поскольку $k=0$, наклонной асимптоты нет (этот случай соответствует горизонтальной асимптоте, которой, как мы уже установили, не существует).

Таким образом, у графика функции $y=\ln x$ есть одна асимптота.
Ответ: вертикальная асимптота $x=0$.