Номер 5, страница 320, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 5, страница 320.

5. Как связаны между собой графики функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Функции $y = e^x$ (натуральная экспонента) и $y = \ln x$ (натуральный логарифм) являются взаимно обратными. Это означает, что одна функция является обратной операцией для другой.

Чтобы доказать, что функции являются взаимно обратными, необходимо проверить, что их композиция (последовательное применение) дает тождественную функцию, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Для функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ проверка выглядит следующим образом:
1. $e^{(\ln x)} = x$. Это следует напрямую из определения натурального логарифма и верно для всех $x$ из его области определения ($x > 0$).
2. $\ln(e^x) = x$. Это следует из основного логарифмического тождества и верно для всех $x$ из области определения показательной функции (всех действительных чисел).

Геометрическая связь между графиками взаимно обратных функций заключается в их симметрии относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Это означает, что если взять любую точку $(a, b)$ на графике $y = e^x$, то точка $(b, a)$ обязательно будет лежать на графике $y = \ln x$. Таким образом, график одной функции можно получить из графика другой путем зеркального отражения относительно прямой $y=x$.

Эта симметрия проявляется во всех свойствах функций:

Область определения и область значений: Область определения функции $y = e^x$ — это множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а область значений — множество всех положительных чисел $E(y) = (0; +\infty)$. Для функции $y = \ln x$ всё наоборот: область определения $D(y) = (0; +\infty)$, а область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Пересечения с осями: График $y = e^x$ проходит через точку $(0, 1)$, а график $y = \ln x$ — через симметричную ей точку $(1, 0)$.

Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y = 0$ (ось Ox) для графика $y = e^x$ и вертикальная асимптота $x = 0$ (ось Oy) для графика $y = \ln x$ также симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики функций $y=e^x$ и $y=\ln x$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, так как эти функции являются взаимно обратными.