Номер 1, страница 322, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 7. ч. 1 - номер 1, страница 322.

1. Показательные функции в окружающем мире.

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Ключевая особенность процессов, описываемых этой функцией, заключается в том, что их скорость изменения прямо пропорциональна текущему значению самой величины. Если основание $a > 1$, мы наблюдаем экспоненциальный рост, а если $0 < a < 1$ — экспоненциальное убывание. Эти модели широко распространены и описывают множество явлений в окружающем нас мире.

Рост популяции и размножение бактерий

В биологии одним из самых наглядных примеров экспоненциального роста является увеличение численности популяции организмов в идеальных условиях, когда ресурсы не ограничены, а угрозы отсутствуют. Например, колония бактерий, в которой каждая клетка делится надвое через равные промежутки времени, будет расти по экспоненте. Чем больше становится бактерий, тем больше их делится в следующий момент времени, ускоряя рост. Этот процесс описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$

где $N(t)$ — количество особей в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество, а $k$ — постоянный коэффициент роста. Похожие законы применимы к росту популяций животных и, на определенных исторических этапах, человечества.

Ответ: Рост численности бактерий в питательной среде, а также популяций животных и людей при отсутствии сдерживающих факторов, подчиняется закону экспоненциального роста.

Радиоактивный распад

В физике экспоненциальная функция описывает процесс радиоактивного распада — самопроизвольного превращения атомных ядер. Скорость распада пропорциональна количеству еще не распавшихся ядер. Это пример экспоненциального убывания. Важнейшей характеристикой является период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Закон распада имеет вид:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ или $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $N(t)$ — количество вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество, а $\lambda$ — постоянная распада, связанная с периодом полураспада. Этот принцип лежит в основе радиоуглеродного анализа, позволяющего определять возраст органических останков.

Ответ: Количество радиоактивного изотопа со временем уменьшается по экспоненциальному закону, что используется в науке (например, для датировки ископаемых) и технике (ядерная энергетика).

Сложный процент в экономике

В финансовом мире экспоненциальный рост проявляется в механизме сложного процента. Когда проценты по банковскому вкладу или кредиту начисляются не только на исходную сумму (принцип), но и на ранее начисленные проценты, капитал начинает расти экспоненциально. Формула для расчета итоговой суммы $A$ при начальном вкладе $P$, годовой ставке $r$ и $n$ периодах начисления в год выглядит так:

$A(t) = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

В случае непрерывного начисления процентов, что является теоретическим пределом, формула принимает вид $A(t) = P \cdot e^{rt}$. Этот принцип является фундаментальным для инвестиций, кредитования и оценки финансовых активов.

Ответ: Капитал, размещенный под сложный процент, растет экспоненциально, что демонстрирует мощь долгосрочных инвестиций и накоплений.

Остывание тел (Закон охлаждения Ньютона)

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с экспоненциальными процессами. Например, чашка горячего кофе, оставленная на столе, остывает нелинейно. Скорость ее остывания максимальна вначале, когда разница температур с окружающей средой велика, и замедляется по мере приближения к комнатной температуре. Этот процесс описывается законом охлаждения Ньютона, который является экспоненциальной функцией:

$T(t) = T_{среды} + (T_0 - T_{среды})e^{-kt}$

где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — его начальная температура, $T_{среды}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент, зависящий от свойств объекта и условий теплообмена.

Ответ: Остывание нагретых предметов, от чашки чая до двигателя автомобиля, происходит по экспоненциальному закону убывания температуры.

Изменение атмосферного давления с высотой

В геофизике и метеорологии экспоненциальная зависимость описывает изменение атмосферного давления с увеличением высоты. Чем выше мы поднимаемся, тем меньше столб воздуха давит на нас сверху, и давление падает. Это падение происходит по экспоненциальному закону, что описывается барометрической формулой:

$P(h) = P_0 \cdot e^{-h/h_0}$

где $P(h)$ — давление на высоте $h$, $P_0$ — давление на уровне моря (h=0), а $h_0$ — так называемая "шкала высоты", постоянная величина (около 8 км), показывающая, на какой высоте давление падает в $e$ раз. Это явление критически важно для авиации (необходимость герметизации салона) и альпинизма.

Ответ: Атмосферное давление экспоненциально уменьшается по мере набора высоты над уровнем моря.