Страница 322, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Показательные функции в окружающем мире.

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Ключевая особенность процессов, описываемых этой функцией, заключается в том, что их скорость изменения прямо пропорциональна текущему значению самой величины. Если основание $a > 1$, мы наблюдаем экспоненциальный рост, а если $0 < a < 1$ — экспоненциальное убывание. Эти модели широко распространены и описывают множество явлений в окружающем нас мире.

В биологии одним из самых наглядных примеров экспоненциального роста является увеличение численности популяции организмов в идеальных условиях, когда ресурсы не ограничены, а угрозы отсутствуют. Например, колония бактерий, в которой каждая клетка делится надвое через равные промежутки времени, будет расти по экспоненте. Чем больше становится бактерий, тем больше их делится в следующий момент времени, ускоряя рост. Этот процесс описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$

где $N(t)$ — количество особей в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество, а $k$ — постоянный коэффициент роста. Похожие законы применимы к росту популяций животных и, на определенных исторических этапах, человечества.

Ответ: Рост численности бактерий в питательной среде, а также популяций животных и людей при отсутствии сдерживающих факторов, подчиняется закону экспоненциального роста.

В физике экспоненциальная функция описывает процесс радиоактивного распада — самопроизвольного превращения атомных ядер. Скорость распада пропорциональна количеству еще не распавшихся ядер. Это пример экспоненциального убывания. Важнейшей характеристикой является период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Закон распада имеет вид:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ или $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $N(t)$ — количество вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество, а $\lambda$ — постоянная распада, связанная с периодом полураспада. Этот принцип лежит в основе радиоуглеродного анализа, позволяющего определять возраст органических останков.

Ответ: Количество радиоактивного изотопа со временем уменьшается по экспоненциальному закону, что используется в науке (например, для датировки ископаемых) и технике (ядерная энергетика).

В финансовом мире экспоненциальный рост проявляется в механизме сложного процента. Когда проценты по банковскому вкладу или кредиту начисляются не только на исходную сумму (принцип), но и на ранее начисленные проценты, капитал начинает расти экспоненциально. Формула для расчета итоговой суммы $A$ при начальном вкладе $P$, годовой ставке $r$ и $n$ периодах начисления в год выглядит так:

$A(t) = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

В случае непрерывного начисления процентов, что является теоретическим пределом, формула принимает вид $A(t) = P \cdot e^{rt}$. Этот принцип является фундаментальным для инвестиций, кредитования и оценки финансовых активов.

Ответ: Капитал, размещенный под сложный процент, растет экспоненциально, что демонстрирует мощь долгосрочных инвестиций и накоплений.

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с экспоненциальными процессами. Например, чашка горячего кофе, оставленная на столе, остывает нелинейно. Скорость ее остывания максимальна вначале, когда разница температур с окружающей средой велика, и замедляется по мере приближения к комнатной температуре. Этот процесс описывается законом охлаждения Ньютона, который является экспоненциальной функцией:

$T(t) = T_{среды} + (T_0 - T_{среды})e^{-kt}$

где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — его начальная температура, $T_{среды}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент, зависящий от свойств объекта и условий теплообмена.

Ответ: Остывание нагретых предметов, от чашки чая до двигателя автомобиля, происходит по экспоненциальному закону убывания температуры.

В геофизике и метеорологии экспоненциальная зависимость описывает изменение атмосферного давления с увеличением высоты. Чем выше мы поднимаемся, тем меньше столб воздуха давит на нас сверху, и давление падает. Это падение происходит по экспоненциальному закону, что описывается барометрической формулой:

$P(h) = P_0 \cdot e^{-h/h_0}$

где $P(h)$ — давление на высоте $h$, $P_0$ — давление на уровне моря (h=0), а $h_0$ — так называемая "шкала высоты", постоянная величина (около 8 км), показывающая, на какой высоте давление падает в $e$ раз. Это явление критически важно для авиации (необходимость герметизации салона) и альпинизма.

Ответ: Атмосферное давление экспоненциально уменьшается по мере набора высоты над уровнем моря.

Число e, также известное как число Эйлера или неперово число, является одной из фундаментальных математических констант, наряду с $\pi$ и мнимой единицей $i$. Это иррациональное и трансцендентное число, имеющее бесконечную непериодическую десятичную часть. Его приблизительное значение равно $2.71828$.

Число $e$ может быть определено несколькими эквивалентными способами.

1. Через предел последовательности. Это определение известно как второй замечательный предел и часто используется в математическом анализе. Число $e$ определяется как предел, к которому стремится значение выражения $(1 + 1/n)^n$ при бесконечном возрастании $n$.
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

2. Через сумму бесконечного ряда. Число $e$ можно представить как сумму обратных факториалов. Это представление следует из разложения функции $e^x$ в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора) при $x=1$.
$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

3. Через интеграл. Число $e$ — это единственное положительное число, для которого площадь под кривой $y = 1/x$ от $x=1$ до $x=e$ равна в точности 1.
$\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$
Это определение тесно связано с понятием натурального логарифма.

Ответ: Число $e$ — это математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Его можно определить как предел $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$ или как сумму бесконечного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} 1/n!$.

Число $e$ обладает рядом уникальных и важных свойств.

• Иррациональность и трансцендентность. Число $e$ является иррациональным, то есть его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Более того, оно трансцендентно, что означает, что оно не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами.
• Основание натурального логарифма. Число $e$ является основанием натурального логарифма ($\ln x = \log_e x$). Натуральный логарифм — это функция, обратная к экспоненциальной функции $y=e^x$.
• Основное свойство в исчислении. Экспоненциальная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: её производная равна самой функции.
  $\frac{d}{dx} e^x = e^x$
  Это делает число $e$ "естественным" выбором для основания экспоненциальной функции при решении дифференциальных уравнений, описывающих процессы роста и распада.

Ответ: Ключевые свойства числа $e$ — это его иррациональность и трансцендентность, то, что оно является основанием натурального логарифма, а также то, что производная функции $e^x$ равна самой себе.

"Замечательным" число $e$ называют из-за его повсеместного появления в различных областях науки и техники.

Сложный процент: Исторически число $e$ возникло из задачи о непрерывном начислении процентов. Если положить 1 денежную единицу в банк под 100% годовых, то при начислении процентов один раз в год сумма составит $1+1=2$. Если два раза в год, то $(1+1/2)^2 = 2.25$. Если $n$ раз в год, то $(1+1/n)^n$. При непрерывном начислении ($n \to \infty$) итоговая сумма в точности равна $e$. Общая формула для непрерывного сложного процента: $A = P \cdot e^{rt}$, где $P$ — начальный вклад, $r$ — годовая ставка, $t$ — время в годах.

Формула Эйлера: Эта формула устанавливает глубокую связь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями в комплексной плоскости:
$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$
Частный случай этой формулы при $x = \pi$ приводит к знаменитому тождеству Эйлера:
$e^{i\pi} + 1 = 0$
Это тождество связывает пять важнейших математических констант: $e$, $\pi$, $i$, $1$ и $0$.

Теория вероятностей и статистика: Число $e$ является неотъемлемой частью многих вероятностных распределений. Например, оно входит в формулу нормального распределения (кривая Гаусса), которое описывает множество случайных явлений, и в распределение Пуассона, моделирующее количество событий за определённый промежуток времени.

Физика и инженерия: Число $e$ появляется в уравнениях, описывающих экспоненциальный рост (рост популяций) и экспоненциальный распад (радиоактивный распад, затухание колебаний). Форма провисшей цепи или кабеля (цепная линия) описывается через гиперболический косинус, который выражается через $e^x$ и $e^{-x}$.

Ответ: Число $e$ имеет огромное значение в математике, финансах (непрерывный сложный процент), физике (законы распада и роста) и теории вероятностей. Формула Эйлера $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ связывает его с тригонометрией и комплексными числами, демонстрируя его фундаментальную природу.

3. Из истории возникновения логарифмов.

Возникновение логарифмов в начале XVII века стало одним из важнейших событий в истории математики, так как оно кардинально упростило и ускорило сложные вычисления. Потребность в таком инструменте была особенно острой в XVI-XVII веках в связи с развитием астрономии, навигации и торговли, где требовалось выполнять громоздкие операции умножения, деления и извлечения корней из многозначных чисел.

Основная идея, лежащая в основе логарифмов, — это сопоставление арифметической и геометрической прогрессий. Заметили, что если взять арифметическую прогрессию (например, показатели степени) и геометрическую прогрессию (соответствующие степени некоторого числа-основания), то сложению членов первой прогрессии соответствует умножение членов второй. Например, для основания 2:

• Арифметическая прогрессия (показатели): 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Геометрическая прогрессия (степени): $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, ...

Чтобы умножить, например, 4 на 8, можно сложить соответствующие им показатели (2 и 3) и получить 5. Число, стоящее в геометрической прогрессии под номером 5, — это 32, что и является результатом ($4 \cdot 8 = 32$). Эту связь отмечал еще в XVI веке немецкий математик Михаэль Штифель, но он не развил ее в полноценную теорию.

Честь изобретения логарифмов принадлежит двум ученым, работавшим независимо друг от друга:

1. Джон Непер (1550–1617) — шотландский математик, физик и астроном. После 20 лет работы он опубликовал в 1614 году свой труд «Описание удивительной таблицы логарифмов». Непер подошел к созданию логарифмов кинематически, рассматривая движение двух точек. Его логарифмы были не совсем теми, что мы используем сегодня; их основание было связано с числом $1/e$, а сам логарифм определялся сложной зависимостью. Однако они выполняли свою главную функцию: заменяли умножение и деление на сложение и вычитание, что произвело фурор в научном мире.

2. Йост Бюрги (1552–1632) — швейцарский часовщик и математик. Он пришел к идее логарифмов еще до Непера, но опубликовал свои таблицы «Арифметической и геометрической прогрессии» лишь в 1620 году, из-за чего приоритет остался за Непером. Метод Бюрги был более алгебраическим и основывался непосредственно на сопоставлении двух прогрессий.

Современный вид логарифмы приобрели благодаря английскому профессору математики Генри Бриггсу (1561–1630). Он был восхищен изобретением Непера и предложил ему использовать более удобное основание — 10. Такие логарифмы, названные десятичными, идеально подходили для вычислений в десятичной системе счисления, так как логарифм единицы был равен нулю ($\log_{10}1 = 0$), а логарифм десяти — единице ($\log_{10}10 = 1$). Бриггс посвятил много лет составлению подробных таблиц десятичных логарифмов, которые стали незаменимым инструментом для инженеров и ученых на последующие три столетия.

Окончательно теория логарифмов была усовершенствована в XVIII веке работами Леонарда Эйлера. Он установил фундаментальную связь между показательной и логарифмической функциями, определив логарифм как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число ($x = \log_a b \iff a^x = b$). Эйлер также ввел в широкое использование так называемые натуральные логарифмы с основанием $e \approx 2.71828...$, которые играют ключевую роль в математическом анализе и естественных науках.

Изобретение логарифмов и логарифмических таблиц, а позже и логарифмической линейки, позволило сократить время вычислений с недель до часов, что дало мощный толчок развитию науки и техники. Как сказал Пьер-Симон Лаплас, логарифмы «удвоили жизнь астрономов».

Ответ: Логарифмы были изобретены в начале XVII века для упрощения сложных вычислений, в первую очередь в астрономии. Их независимо друг от друга создали шотландец Джон Непер (опубликовал работу в 1614 г.) и швейцарец Йост Бюрги (опубликовал в 1620 г.). Ключевая идея заключалась в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий, что позволило заменять операции умножения и деления на сложение и вычитание. Английский математик Генри Бриггс предложил использовать удобные для практики десятичные логарифмы (с основанием 10). В XVIII веке Леонард Эйлер окончательно связал логарифмы с показательной функцией и ввел в науку натуральные логарифмы с основанием $e$.