Страница 321, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6. Какая из функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ выпукла вверх, а какая – выпукла вниз?

Для определения направления выпуклости функции необходимо исследовать знак ее второй производной. Если вторая производная $y'' > 0$ на интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (или вогнута). Если $y'' < 0$, то функция выпукла вверх.

Функция $y = e^x$

1. Найдем первую производную функции: $y' = (e^x)' = e^x$.

2. Найдем вторую производную, взяв производную от первой: $y'' = (e^x)' = e^x$.

3. Определим знак второй производной. Функция $e^x$ положительна для любого действительного значения $x$ (т.е. $e^x > 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$). Следовательно, $y'' > 0$ на всей области определения.

4. Поскольку вторая производная всегда положительна, график функции $y = e^x$ выпуклый вниз на всей своей области определения.

Ответ: Функция $y = e^x$ выпукла вниз.

Функция $y = \ln x$

1. Область определения функции $y = \ln x$ — это все положительные числа, то есть $x > 0$.

2. Найдем первую производную функции: $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

3. Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

4. Определим знак второй производной. На всей области определения ($x > 0$) выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, выражение $-\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательно. Таким образом, $y'' < 0$ для всех $x$ из области определения.

5. Поскольку вторая производная всегда отрицательна, график функции $y = \ln x$ выпуклый вверх на всей своей области определения.

Ответ: Функция $y = \ln x$ выпукла вверх.

7. Есть ли асимптоты у графиков функций $y = e^x$ и $y = \ln x$? Если есть, то запишите их уравнения.

Да, у графиков обеих функций есть асимптоты. Проанализируем каждую функцию отдельно, чтобы найти их уравнения.

График функции $y=e^x$

Асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по мере удаления точки графика в бесконечность. Проверим наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

• Вертикальные асимптоты. Функция $y=e^x$ определена и непрерывна для всех действительных чисел (область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$). Поскольку у функции нет точек разрыва, где она стремилась бы к бесконечности, вертикальных асимптот у ее графика нет.
• Горизонтальные и наклонные асимптоты. Их наличие определяется поведением функции на бесконечности (при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$).
  Рассмотрим предел при $x \to +\infty$: $$ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty $$ Так как предел не является конечным числом, горизонтальной асимптоты справа нет. Проверка на наклонную асимптоту $y=kx+b$ также показывает ее отсутствие, так как коэффициент $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.
  Рассмотрим предел при $x \to -\infty$: $$ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 $$ Поскольку предел конечен и равен нулю, прямая $y=0$ является левосторонней горизонтальной асимптотой.

Таким образом, у графика функции $y=e^x$ есть одна асимптота.
Ответ: горизонтальная асимптота $y=0$.

График функции $y=\ln x$

Проведем аналогичный анализ для функции натурального логарифма.

• Вертикальные асимптоты. Область определения функции $y=\ln x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Вертикальная асимптота может существовать на границе области определения. Найдем предел при $x$, стремящемся к $0$ справа: $$ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty $$ Поскольку односторонний предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальные и наклонные асимптоты. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ (так как функция определена только для $x > 0$).
  Найдем предел функции: $$ \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty $$ Так как предел бесконечен, горизонтальной асимптоты нет.
  Проверим наличие наклонной асимптоты $y=kx+b$. Найдем коэффициент $k$: $$ k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} $$ Используя правило Лопиталя для неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$, получаем: $$ k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ Поскольку $k=0$, наклонной асимптоты нет (этот случай соответствует горизонтальной асимптоте, которой, как мы уже установили, не существует).

Таким образом, у графика функции $y=\ln x$ есть одна асимптота.
Ответ: вертикальная асимптота $x=0$.

8. Чему равна производная функции $y = \ln x$?

a. $1$

$x$

$1$

$\frac{1}{x}$

Для нахождения производной функции натурального логарифма $y = \ln x$ можно воспользоваться правилом дифференцирования обратной функции. Этот метод является одним из стандартных способов вывода данной производной.

1. Определение обратной функции. Функция $y = \ln x$ по определению является обратной к показательной функции $x = e^y$. Область определения для $y = \ln x$ — это все положительные действительные числа, то есть $x > 0$.

2. Нахождение производной обратной функции. Нам нужно продифференцировать функцию $x = e^y$ по переменной $y$. Производная экспоненциальной функции $e^y$ по $y$ известна и равна самой функции:

$\frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

3. Применение формулы производной обратной функции. Эта формула связывает производную исходной функции $y'(x) = \frac{dy}{dx}$ с производной обратной ей функции $\frac{dx}{dy}$ следующим образом:

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

4. Подстановка и получение результата. Подставляем результат из шага 2 в формулу из шага 3:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$

Теперь необходимо выразить полученный результат через исходную переменную $x$. Из шага 1 мы знаем, что $x = e^y$. Заменяем $e^y$ на $x$ в знаменателе:

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Таким образом, мы доказали, что производная функции натурального логарифма $y = \ln x$ равна $\frac{1}{x}$. Это один из фундаментальных результатов математического анализа.

Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

9. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Угол, который касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси абсцисс, определяется тангенсом этого угла. Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой же точке. Обозначим искомый угол как $\alpha$, а угловой коэффициент касательной как $k$. Тогда справедливо равенство $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.

В данной задаче рассматривается функция $y = \ln x$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Найдем производную функции $y = \ln x$:
$y' = f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:
$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.

3. Теперь, зная угловой коэффициент, найдем сам угол $\alpha$. Так как $k = \tan \alpha$, получаем уравнение:
$\tan \alpha = 1$.

Решением этого уравнения для угла наклона прямой является $\alpha = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах).

Таким образом, касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x=1$ имеет угловой коэффициент, равный 1, и образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Для функции $y = \ln x$ производная равна $y' = \frac{1}{x}$. В точке $x = 1$ значение производной $y'(1) = \frac{1}{1} = 1$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс, то есть $k = \tan \alpha$. Следовательно, $\tan \alpha = 1$, откуда $\alpha = 45^\circ$.