Страница 320, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите значение числа $e$ с точностью 0,1; с точностью 0,01.

Для решения задачи необходимо знать значение математической константы $e$ (число Эйлера) и правила округления чисел. Число $e$ является иррациональным, его значение приблизительно равно $2.718281828...$. Запись значения числа с определенной точностью (например, $0.1$ или $0.01$) подразумевает его округление до соответствующего десятичного разряда (до десятых или до сотых).

с точностью 0,1

Чтобы записать число $e$ с точностью до $0,1$, необходимо округлить его до первого знака после запятой (до разряда десятых). Для этого мы анализируем вторую цифру после запятой (цифру в разряде сотых). В числе $e \approx 2.71828...$ цифра в разряде десятых равна 7, а следующая за ней цифра в разряде сотых равна 1.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 (в нашем случае $1 < 5$), то округляемый разряд не изменяется, а все последующие цифры отбрасываются. Поэтому цифру 7 мы оставляем без изменений.

Таким образом, приближенное значение числа $e$ с точностью до $0,1$ составляет $2.7$.

Ответ: $e \approx 2.7$

с точностью 0,01

Чтобы записать число $e$ с точностью до $0,01$, необходимо округлить его до второго знака после запятой (до разряда сотых). Для этого мы анализируем третью цифру после запятой (цифру в разряде тысячных). В числе $e \approx 2.71828...$ цифра в разряде сотых равна 1, а следующая за ней цифра в разряде тысячных равна 8.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5 или больше (в нашем случае $8 \ge 5$), то округляемый разряд увеличивается на 1, а все последующие цифры отбрасываются. Поэтому мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $1+1=2$.

Таким образом, приближенное значение числа $e$ с точностью до $0,01$ составляет $2.72$.

Ответ: $e \approx 2.72$

2. Какой угол образует касательная к графику функции $y = e^x$ в точке $x = 0$ с положительным направлением оси абсцисс?

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угол наклона — это угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

Таким образом, чтобы найти искомый угол $\alpha$, нам нужно найти значение производной функции $y=e^x$ в точке $x=0$. Это значение будет равно тангенсу угла $\alpha$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $y = e^x$. Производная этой функции известна и равна самой функции:

$y' = (e^x)' = e^x$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$.

Подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = y'(0) = e^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому:

$k = 1$

3. Найдем угол.

Мы знаем, что угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$:

$k = \tan(\alpha)$

Следовательно:

$\tan(\alpha) = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.

$\alpha = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

3. Чему равна производная функции $y = e^x$?

Экспоненциальная функция $y = e^x$ (или экспонента) занимает особое место в математическом анализе. Её основание — это число Эйлера $e$, иррациональная константа, приблизительно равная $2.71828$. Уникальность этой функции заключается в том, что скорость её роста в любой точке (которая и выражается производной) равна значению самой функции в этой же точке.

Согласно основному правилу дифференцирования, производная функции $e^x$ равна самой функции $e^x$. Это одна из фундаментальных формул в таблице производных:

$ (e^x)' = e^x $

Доказательство через общую формулу:

Можно прийти к этому результату, используя общую формулу для производной показательной функции $y = a^x$, где $a$ — положительное основание, не равное 1:

$ (a^x)' = a^x \ln(a) $

В нашем случае основание $a$ равно числу Эйлера $e$. Подставим $a=e$ в эту формулу:

$ (e^x)' = e^x \ln(e) $

Натуральный логарифм $ \ln(x) $ — это логарифм по основанию $e$, то есть $ \ln(x) = \log_e(x) $. Следовательно, $ \ln(e) = \log_e(e) = 1 $.

Подставив $ \ln(e) = 1 $ в наше выражение, получаем окончательный результат:

$ (e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x $

Таким образом, производная функции $y = e^x$ действительно равна $e^x$.

Ответ: $e^x$.

4. Что такое натуральный логарифм?

4.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$, где $e$ — это иррациональная и трансцендентная математическая константа, известная как число Эйлера. Её приближенное значение составляет $e \approx 2.718281828$.

Обозначение и определение

Натуральный логарифм числа $x$ обозначается как $ln(x)$. Эта запись является общепринятым сокращением для $\log_e(x)$.

Формально, равенство $y = ln(x)$ эквивалентно равенству $e^y = x$.

Это означает, что натуральный логарифм числа $x$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $e$, чтобы получить число $x$. Например: $ln(e) = 1$, так как $e^1 = e$; $ln(1) = 0$, так как $e^0 = 1$; $ln(e^2) = 2$, так как $e^2 = e^2$. Натуральный логарифм определен только для положительных чисел ($x > 0$).

Свойства

Натуральный логарифм обладает всеми стандартными свойствами логарифмов:
- Логарифм произведения: $ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b)$
- Логарифм частного: $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
- Логарифм степени: $ln(a^p) = p \cdot ln(a)$
- Основное логарифмическое тождество: $e^{ln(x)} = x$ для $x > 0$
- Свойство $ln(e^x) = x$ для любого действительного $x$

Применение и значимость

Приставка "натуральный" связана с тем, что эта функция и ее основание $e$ возникают естественным образом во многих областях науки и математики. В математическом анализе натуральный логарифм играет ключевую роль, поскольку его производная имеет очень простой вид:
$(ln(x))' = \frac{1}{x}$

Это свойство делает его фундаментальным инструментом при решении дифференциальных уравнений и вычислении интегралов. Например, интеграл от функции $f(x) = 1/x$ равен $ln|x| + C$.

Натуральные логарифмы также широко используются для описания процессов непрерывного роста или затухания, таких как рост популяций, радиоактивный распад или начисление сложных процентов по непрерывной ставке.

Ответ: Натуральный логарифм (обозначается $ln(x)$) — это логарифм по основанию $e$, где $e$ — это число Эйлера, специальная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Он показывает, в какую степень нужно возвести число $e$, чтобы получить $x$.

5. Как связаны между собой графики функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Функции $y = e^x$ (натуральная экспонента) и $y = \ln x$ (натуральный логарифм) являются взаимно обратными. Это означает, что одна функция является обратной операцией для другой.

Чтобы доказать, что функции являются взаимно обратными, необходимо проверить, что их композиция (последовательное применение) дает тождественную функцию, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Для функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ проверка выглядит следующим образом:
1. $e^{(\ln x)} = x$. Это следует напрямую из определения натурального логарифма и верно для всех $x$ из его области определения ($x > 0$).
2. $\ln(e^x) = x$. Это следует из основного логарифмического тождества и верно для всех $x$ из области определения показательной функции (всех действительных чисел).

Геометрическая связь между графиками взаимно обратных функций заключается в их симметрии относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Это означает, что если взять любую точку $(a, b)$ на графике $y = e^x$, то точка $(b, a)$ обязательно будет лежать на графике $y = \ln x$. Таким образом, график одной функции можно получить из графика другой путем зеркального отражения относительно прямой $y=x$.

Эта симметрия проявляется во всех свойствах функций:

Область определения и область значений: Область определения функции $y = e^x$ — это множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а область значений — множество всех положительных чисел $E(y) = (0; +\infty)$. Для функции $y = \ln x$ всё наоборот: область определения $D(y) = (0; +\infty)$, а область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Пересечения с осями: График $y = e^x$ проходит через точку $(0, 1)$, а график $y = \ln x$ — через симметричную ей точку $(1, 0)$.

Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y = 0$ (ось Ox) для графика $y = e^x$ и вертикальная асимптота $x = 0$ (ось Oy) для графика $y = \ln x$ также симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики функций $y=e^x$ и $y=\ln x$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, так как эти функции являются взаимно обратными.