Номер 2, страница 320, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §47 - номер 2, страница 320.

Условие.

2. Какой угол образует касательная к графику функции $y = e^x$ в точке $x = 0$ с положительным направлением оси абсцисс?

Решение 6.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угол наклона — это угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

Таким образом, чтобы найти искомый угол $\alpha$, нам нужно найти значение производной функции $y=e^x$ в точке $x=0$. Это значение будет равно тангенсу угла $\alpha$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $y = e^x$. Производная этой функции известна и равна самой функции:

$y' = (e^x)' = e^x$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$.

Подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = y'(0) = e^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому:

$k = 1$

3. Найдем угол.

Мы знаем, что угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$:

$k = \tan(\alpha)$

Следовательно:

$\tan(\alpha) = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.

$\alpha = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$