Номер 6, страница 321, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 6, страница 321.

6. Какая из функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ выпукла вверх, а какая – выпукла вниз?

Для определения направления выпуклости функции необходимо исследовать знак ее второй производной. Если вторая производная $y'' > 0$ на интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (или вогнута). Если $y'' < 0$, то функция выпукла вверх.

Функция $y = e^x$

1. Найдем первую производную функции: $y' = (e^x)' = e^x$.

2. Найдем вторую производную, взяв производную от первой: $y'' = (e^x)' = e^x$.

3. Определим знак второй производной. Функция $e^x$ положительна для любого действительного значения $x$ (т.е. $e^x > 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$). Следовательно, $y'' > 0$ на всей области определения.

4. Поскольку вторая производная всегда положительна, график функции $y = e^x$ выпуклый вниз на всей своей области определения.

Ответ: Функция $y = e^x$ выпукла вниз.

Функция $y = \ln x$

1. Область определения функции $y = \ln x$ — это все положительные числа, то есть $x > 0$.

2. Найдем первую производную функции: $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

3. Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

4. Определим знак второй производной. На всей области определения ($x > 0$) выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, выражение $-\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательно. Таким образом, $y'' < 0$ для всех $x$ из области определения.

5. Поскольку вторая производная всегда отрицательна, график функции $y = \ln x$ выпуклый вверх на всей своей области определения.

Ответ: Функция $y = \ln x$ выпукла вверх.