Номер 3, страница 322, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 7 - номер 3, страница 322.

Условие.

3. Из истории возникновения логарифмов.

Решение 6.

Возникновение логарифмов в начале XVII века стало одним из важнейших событий в истории математики, так как оно кардинально упростило и ускорило сложные вычисления. Потребность в таком инструменте была особенно острой в XVI-XVII веках в связи с развитием астрономии, навигации и торговли, где требовалось выполнять громоздкие операции умножения, деления и извлечения корней из многозначных чисел.

Основная идея, лежащая в основе логарифмов, — это сопоставление арифметической и геометрической прогрессий. Заметили, что если взять арифметическую прогрессию (например, показатели степени) и геометрическую прогрессию (соответствующие степени некоторого числа-основания), то сложению членов первой прогрессии соответствует умножение членов второй. Например, для основания 2:

• Арифметическая прогрессия (показатели): 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Геометрическая прогрессия (степени): $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, ...

Чтобы умножить, например, 4 на 8, можно сложить соответствующие им показатели (2 и 3) и получить 5. Число, стоящее в геометрической прогрессии под номером 5, — это 32, что и является результатом ($4 \cdot 8 = 32$). Эту связь отмечал еще в XVI веке немецкий математик Михаэль Штифель, но он не развил ее в полноценную теорию.

Честь изобретения логарифмов принадлежит двум ученым, работавшим независимо друг от друга:

1. Джон Непер (1550–1617) — шотландский математик, физик и астроном. После 20 лет работы он опубликовал в 1614 году свой труд «Описание удивительной таблицы логарифмов». Непер подошел к созданию логарифмов кинематически, рассматривая движение двух точек. Его логарифмы были не совсем теми, что мы используем сегодня; их основание было связано с числом $1/e$, а сам логарифм определялся сложной зависимостью. Однако они выполняли свою главную функцию: заменяли умножение и деление на сложение и вычитание, что произвело фурор в научном мире.

2. Йост Бюрги (1552–1632) — швейцарский часовщик и математик. Он пришел к идее логарифмов еще до Непера, но опубликовал свои таблицы «Арифметической и геометрической прогрессии» лишь в 1620 году, из-за чего приоритет остался за Непером. Метод Бюрги был более алгебраическим и основывался непосредственно на сопоставлении двух прогрессий.

Современный вид логарифмы приобрели благодаря английскому профессору математики Генри Бриггсу (1561–1630). Он был восхищен изобретением Непера и предложил ему использовать более удобное основание — 10. Такие логарифмы, названные десятичными, идеально подходили для вычислений в десятичной системе счисления, так как логарифм единицы был равен нулю ($\log_{10}1 = 0$), а логарифм десяти — единице ($\log_{10}10 = 1$). Бриггс посвятил много лет составлению подробных таблиц десятичных логарифмов, которые стали незаменимым инструментом для инженеров и ученых на последующие три столетия.

Окончательно теория логарифмов была усовершенствована в XVIII веке работами Леонарда Эйлера. Он установил фундаментальную связь между показательной и логарифмической функциями, определив логарифм как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число ($x = \log_a b \iff a^x = b$). Эйлер также ввел в широкое использование так называемые натуральные логарифмы с основанием $e \approx 2.71828...$, которые играют ключевую роль в математическом анализе и естественных науках.

Изобретение логарифмов и логарифмических таблиц, а позже и логарифмической линейки, позволило сократить время вычислений с недель до часов, что дало мощный толчок развитию науки и техники. Как сказал Пьер-Симон Лаплас, логарифмы «удвоили жизнь астрономов».

Ответ: Логарифмы были изобретены в начале XVII века для упрощения сложных вычислений, в первую очередь в астрономии. Их независимо друг от друга создали шотландец Джон Непер (опубликовал работу в 1614 г.) и швейцарец Йост Бюрги (опубликовал в 1620 г.). Ключевая идея заключалась в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий, что позволило заменять операции умножения и деления на сложение и вычитание. Английский математик Генри Бриггс предложил использовать удобные для практики десятичные логарифмы (с основанием 10). В XVIII веке Леонард Эйлер окончательно связал логарифмы с показательной функцией и ввел в науку натуральные логарифмы с основанием $e$.