Номер 1, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §49. ч. 1 - номер 1, страница 339.

1. Что называют определённым интегралом от функции $y = f(x)$ по отрезку $[a; b]$? Как обозначается определённый интеграл?

Определённым интегралом от непрерывной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$ называется предел интегральной суммы, когда длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремится к нулю.

Чтобы дать строгое определение, необходимо выполнить последовательность действий:
1. Отрезок $[a; b]$ разбивается на $n$ произвольных частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длина каждого такого частичного отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. В каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
3. Для каждого отрезка вычисляется произведение значения функции в выбранной точке на длину этого отрезка: $f(\xi_i) \cdot \Delta x_i$.
4. Составляется интегральная сумма (также известная как сумма Римана), которая является суммой всех таких произведений: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$.
5. Находится предел этой интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков $\lambda = \max_{i} \Delta x_i$ стремится к нулю (что равносильно стремлению числа отрезков $n$ к бесконечности).

Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка $[a; b]$ на части, ни от выбора точек $\xi_i$ в них, то он и называется определённым интегралом от функции $f(x)$ по отрезку $[a; b]$.

Обозначается определённый интеграл следующим образом:$$ \int_a^b f(x) \,dx $$В данной записи:
• $\int$ — это знак интеграла.
• $a$ и $b$ — это нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, они задают отрезок $[a; b]$.
• $f(x)$ — это подынтегральная функция.
• $f(x) \,dx$ — это подынтегральное выражение.
• $dx$ — это дифференциал переменной интегрирования, он указывает, по какой переменной ведётся интегрирование.

Таким образом, определение можно записать в виде формулы:$$ \int_a^b f(x) \,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i $$

Геометрически, в случае если функция $f(x)$ неотрицательна (т.е. $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Для практического вычисления определённых интегралов часто используется формула Ньютона-Лейбница:$$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $$где $F(x)$ — это любая первообразная для функции $f(x)$ (то есть такая функция, что $F'(x) = f(x)$).

Ответ: Определённым интегралом от функции $y=f(x)$ по отрезку $[a; b]$ называют число, равное пределу соответствующей интегральной суммы $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения $\Delta x_i$ стремится к нулю. Обозначается определённый интеграл как $\int_a^b f(x) \,dx$.