Номер 7, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §49 - номер 7, страница 339.

Условие.

7. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченнойлиниями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывнаянеположительная функция на отрезке $[3; 5]$?

Решение 6.

Криволинейная трапеция, о которой идет речь в задаче, представляет собой фигуру в декартовой системе координат. Эта фигура ограничена следующими линиями:

• осью абсцисс, уравнение которой $y = 0$;
• двумя вертикальными прямыми $x = 3$ и $x = 5$;
• графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[3, 5]$ функции $y = f(x)$.

Условие неотрицательности функции ($f(x) \ge 0$) означает, что график функции расположен не ниже оси абсцисс.

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь такой криволинейной трапеции равна определённому интегралу от функции $f(x)$ по отрезку, заданному вертикальными прямыми. В данном случае отрезок интегрирования — это $[3, 5]$.

Таким образом, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Для вычисления значения этого определённого интеграла используется фундаментальная теорема исчисления, известная как формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Здесь $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то есть функцией, производная которой равна $f(x)$ (иначе говоря, $F'(x) = f(x)$).

Алгоритм вычисления площади сводится к следующему:

1. Найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.
2. Подставить в найденную первообразную верхний предел интегрирования, то есть вычислить $F(5)$.
3. Подставить в первообразную нижний предел интегрирования, то есть вычислить $F(3)$.
4. Найти разность полученных значений: $S = F(5) - F(3)$.

Полученное число и будет являться площадью указанной криволинейной трапеции.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$ и графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$. Для практического расчёта необходимо найти любую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$ и вычислить её значение по формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(5) - F(3)$.