Страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют определённым интегралом от функции $y = f(x)$ по отрезку $[a; b]$? Как обозначается определённый интеграл?

Определённым интегралом от непрерывной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$ называется предел интегральной суммы, когда длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремится к нулю.

Чтобы дать строгое определение, необходимо выполнить последовательность действий:
1. Отрезок $[a; b]$ разбивается на $n$ произвольных частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длина каждого такого частичного отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. В каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
3. Для каждого отрезка вычисляется произведение значения функции в выбранной точке на длину этого отрезка: $f(\xi_i) \cdot \Delta x_i$.
4. Составляется интегральная сумма (также известная как сумма Римана), которая является суммой всех таких произведений: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$.
5. Находится предел этой интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков $\lambda = \max_{i} \Delta x_i$ стремится к нулю (что равносильно стремлению числа отрезков $n$ к бесконечности).

Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка $[a; b]$ на части, ни от выбора точек $\xi_i$ в них, то он и называется определённым интегралом от функции $f(x)$ по отрезку $[a; b]$.

Обозначается определённый интеграл следующим образом:$$ \int_a^b f(x) \,dx $$В данной записи:
• $\int$ — это знак интеграла.
• $a$ и $b$ — это нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, они задают отрезок $[a; b]$.
• $f(x)$ — это подынтегральная функция.
• $f(x) \,dx$ — это подынтегральное выражение.
• $dx$ — это дифференциал переменной интегрирования, он указывает, по какой переменной ведётся интегрирование.

Таким образом, определение можно записать в виде формулы:$$ \int_a^b f(x) \,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i $$

Геометрически, в случае если функция $f(x)$ неотрицательна (т.е. $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Для практического вычисления определённых интегралов часто используется формула Ньютона-Лейбница:$$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $$где $F(x)$ — это любая первообразная для функции $f(x)$ (то есть такая функция, что $F'(x) = f(x)$).

Ответ: Определённым интегралом от функции $y=f(x)$ по отрезку $[a; b]$ называют число, равное пределу соответствующей интегральной суммы $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения $\Delta x_i$ стремится к нулю. Обозначается определённый интеграл как $\int_a^b f(x) \,dx$.

2. В чем состоит геометрический смысл определённого интеграла?

Геометрический смысл определённого интеграла $ \int_a^b f(x) \,dx $ заключается в вычислении алгебраической площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Понятие "алгебраическая площадь" означает, что площади частей фигуры, расположенных над осью Ox, берутся со знаком «плюс», а площади частей, расположенных под осью Ox, — со знаком «минус».

Рассмотрим это подробнее в различных случаях.

Случай 1: Неотрицательная функция ($f(x) \ge 0$)

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то её график полностью лежит выше или на оси Ox. В этом случае определённый интеграл от этой функции численно равен геометрической площади фигуры, называемой криволинейной трапецией. Эта фигура ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — отрезком $[a, b]$ оси Ox, и с боков — прямыми $x=a$ и $x=b$.
Формула для площади $S$:
$ S = \int_a^b f(x) \,dx $

Случай 2: Неположительная функция ($f(x) \le 0$)

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и неположительна на отрезке $[a, b]$, её график расположен под осью Ox. Значение определённого интеграла в этом случае будет отрицательным.
$ \int_a^b f(x) \,dx \le 0 $
Геометрическая площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, равна модулю значения интеграла (или интегралу, взятому с противоположным знаком).
Формула для площади $S$:
$ S = \left| \int_a^b f(x) \,dx \right| = - \int_a^b f(x) \,dx $

Случай 3: Функция, меняющая знак

Если функция $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл $ \int_a^b f(x) \,dx $ выражает разность между суммой площадей фигур, лежащих над осью Ox, и суммой площадей фигур, лежащих под осью Ox.
Например, если функция пересекает ось Ox в точке $c \in (a, b)$, причем $f(x) \ge 0$ на $[a, c]$ и $f(x) \le 0$ на $[c, b]$, то:
$ \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx = S_{над} - S_{под} $
где $S_{над}$ — площадь над осью, а $S_{под}$ — площадь под осью.
Чтобы найти полную геометрическую площадь фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$ и осью Ox на отрезке $[a,b]$, необходимо найти интеграл от модуля функции:
$ S_{общая} = \int_a^b |f(x)| \,dx $

Ответ: Геометрический смысл определённого интеграла $\int_a^b f(x) \,dx$ состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, при условии, что $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$. В общем случае, когда функция может принимать и положительные, и отрицательные значения, определённый интеграл равен алгебраической сумме площадей фигур, заключенных между графиком функции и осью Ox, где площади над осью Ox берутся со знаком «плюс», а площади под осью Ox — со знаком «минус».

3. В чем состоит физический смысл определённого интеграла?

Физический смысл определённого интеграла заключается в вычислении суммарного (накопленного) значения некоторой физической величины по определённому интервалу (времени, длины, объёма и т.д.), если известна функция, описывающая скорость изменения этой величины или её распределение (плотность).

В общем виде, если функция $f(x)$ представляет собой скорость изменения некоторой величины $F(x)$ (то есть, $f(x) = F'(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ даёт полное изменение величины $F(x)$ при изменении $x$ от $a$ до $b$:

$\Delta F = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Рассмотрим несколько классических примеров из физики.

1. Путь, пройденный телом

Пусть известна функция скорости тела $v(t)$, которая может меняться со временем $t$. Скорость — это производная от пути $S$ по времени, то есть $v(t) = S'(t)$. Чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо проинтегрировать функцию скорости по времени. Интеграл как бы «суммирует» все бесконечно малые перемещения $dS = v(t)dt$ на данном временном отрезке.

Путь $S$, пройденный телом за время от $t_1$ до $t_2$ при движении с переменной скоростью $v(t)$, равен:

$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Геометрически это площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$.

2. Работа переменной силы

Пусть тело перемещается вдоль оси $Ox$ под действием силы $F(x)$, величина которой зависит от положения тела $x$. Работа $A$, совершаемая постоянной силой, равна произведению силы на перемещение. Для переменной силы работа на малом перемещении $dx$ равна $dA = F(x)dx$. Чтобы найти полную работу при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, необходимо сложить (проинтегрировать) работы на всех малых участках.

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, равна:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

Геометрически это площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения $F(x)$.

3. Масса неоднородного стержня

Рассмотрим стержень, расположенный на оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$. Если стержень неоднороден, его линейная плотность $\rho(x)$ (масса на единицу длины) является функцией координаты $x$. Плотность — это производная массы по длине, $\rho(x) = m'(x)$. Масса малого участка стержня длиной $dx$ равна $dm = \rho(x)dx$. Для нахождения общей массы стержня нужно просуммировать массы всех таких малых участков.

Масса $m$ стержня на отрезке от $a$ до $b$ с переменной линейной плотностью $\rho(x)$ равна:

$m = \int_{a}^{b} \rho(x) dx$

4. Заряд, прошедший через проводник

Пусть по проводнику течёт ток $I(t)$, сила которого изменяется со временем $t$. Сила тока по определению — это скорость протекания заряда через поперечное сечение проводника, то есть $I(t) = q'(t)$. Заряд $dq$, который проходит через сечение за малое время $dt$, равен $dq = I(t)dt$. Чтобы найти полный заряд, прошедший за конечный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо проинтегрировать силу тока.

Полный заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время от $t_1$ до $t_2$ при переменном токе $I(t)$, равен:

$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$

Ответ: Физический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ состоит в нахождении суммарного значения или полного изменения некоторой физической величины на интервале $[a, b]$, при условии, что подынтегральная функция $f(x)$ описывает скорость изменения этой величины или её плотность распределения по переменной $x$.

4. Запишите формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница, также известная как основная теорема анализа (или основная теорема высшей математики), устанавливает фундаментальную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Она позволяет вычислять определённый интеграл от непрерывной функции через нахождение её первообразной.

Формулировка теоремы: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является любой первообразной для функции $f(x)$ на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен разности значений первообразной $F(x)$ на концах этого отрезка (на верхнем и нижнем пределах интегрирования).

Математически это выражается следующей формулой:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$

В данной формуле:
$f(x)$ — это подынтегральная функция.
$[a, b]$ — это отрезок интегрирования, где $a$ — нижний предел, а $b$ — верхний предел.
$F(x)$ — это любая из первообразных функции $f(x)$. Важно, что результат не зависит от выбора конкретной первообразной. Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две разные первообразные для $f(x)$, то они отличаются на константу: $F_2(x) = F_1(x) + C$. Тогда разность значений будет одинаковой: $(F_1(b) + C) - (F_1(a) + C) = F_1(b) - F_1(a)$.

Для краткости записи разность $F(b) - F(a)$ принято обозначать с помощью двойной подстановки:

$$ F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b $$

С учётом этого обозначения, формула Ньютона-Лейбница часто записывается в виде:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b $$

Таким образом, процесс вычисления определённого интеграла с помощью этой формулы сводится к двум основным шагам: нахождению первообразной для подынтегральной функции и вычислению разности её значений на границах промежутка интегрирования.

Ответ: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а $F(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке (то есть $F'(x)=f(x)$).

5. Что такое криволинейная трапеция?

Криволинейная трапеция — это плоская фигура в декартовой системе координат, ограниченная графиком непрерывной функции $y = f(x)$, осью абсцисс (Ox) и двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

Для классического определения криволинейной трапеции необходимо, чтобы функция $y = f(x)$ была не только непрерывной, но и неотрицательной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из этого отрезка. Таким образом, границы фигуры определяются:
- сверху: графиком функции $y=f(x)$;
- снизу: отрезком $[a, b]$ на оси Ox;
- по бокам: вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Основное значение понятия криволинейной трапеции заключается в его связи с интегральным исчислением. Площадь $S$ такой фигуры равна значению определённого интеграла от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$. Это выражается формулой Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Эта формула представляет собой геометрическую интерпретацию определённого интеграла.

Если функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ непрерывна, но является неположительной ($f(x) \le 0$), то фигура, ограниченная её графиком, осью Ox и прямыми $x=a$, $x=b$, будет расположена под осью абсцисс. Её площадь также можно найти через интеграл, взяв его по модулю:

$S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right| = -\int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс, а также прямыми $x=a$ и $x=b$. Её площадь вычисляется как определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

6. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывная неотрицательная функция на отрезке $[3; 5]$?

Площадь фигуры, называемой криволинейной трапецией, которая ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется с помощью определённого интеграла.

В данном случае условия полностью соответствуют определению криволинейной трапеции:

• Верхняя граница — график функции $y = f(x)$, которая непрерывна и неотрицательна на отрезке $[3; 5]$.
• Нижняя граница — ось абсцисс ($y = 0$).
• Боковые границы — вертикальные прямые $x = 3$ и $x = 5$.

Следовательно, пределы интегрирования равны $a = 3$ и $b = 5$.

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь $S$ такой фигуры равна значению определённого интеграла от функции $f(x)$ на отрезке $[3; 5]$. Формула для вычисления площади выглядит следующим образом: $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Для вычисления значения этого интеграла применяется основная теорема анализа, известная как формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$ Здесь $F(x)$ — это любая первообразная для функции $f(x)$, то есть такая функция, производная которой равна $f(x)$ (иначе говоря, $F'(x) = f(x)$).

Таким образом, алгоритм вычисления площади сводится к следующему:

1. Найти первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$.
2. Вычислить значение первообразной на верхнем пределе интегрирования, то есть $F(5)$.
3. Вычислить значение первообразной на нижнем пределе интегрирования, то есть $F(3)$.
4. Найти разность этих значений: $S = F(5) - F(3)$.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$ и $y = f(x)$, вычисляется по формуле определенного интеграла $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$. Для нахождения численного значения необходимо найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$ и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: $S = F(5) - F(3)$.

7. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченнойлиниями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывнаянеположительная функция на отрезке $[3; 5]$?

Криволинейная трапеция, о которой идет речь в задаче, представляет собой фигуру в декартовой системе координат. Эта фигура ограничена следующими линиями:

• осью абсцисс, уравнение которой $y = 0$;
• двумя вертикальными прямыми $x = 3$ и $x = 5$;
• графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[3, 5]$ функции $y = f(x)$.

Условие неотрицательности функции ($f(x) \ge 0$) означает, что график функции расположен не ниже оси абсцисс.

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь такой криволинейной трапеции равна определённому интегралу от функции $f(x)$ по отрезку, заданному вертикальными прямыми. В данном случае отрезок интегрирования — это $[3, 5]$.

Таким образом, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Для вычисления значения этого определённого интеграла используется фундаментальная теорема исчисления, известная как формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Здесь $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то есть функцией, производная которой равна $f(x)$ (иначе говоря, $F'(x) = f(x)$).

Алгоритм вычисления площади сводится к следующему:

1. Найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.
2. Подставить в найденную первообразную верхний предел интегрирования, то есть вычислить $F(5)$.
3. Подставить в первообразную нижний предел интегрирования, то есть вычислить $F(3)$.
4. Найти разность полученных значений: $S = F(5) - F(3)$.

Полученное число и будет являться площадью указанной криволинейной трапеции.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$ и графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$. Для практического расчёта необходимо найти любую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$ и вычислить её значение по формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(5) - F(3)$.

8. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$, $y=g(x)$, где $y=f(x)$, $y=g(x)$ — непрерывные функции на отрезке $[3; 5]$, причём на этом отрезке выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$?

Для вычисления площади фигуры, ограниченной вертикальными прямыми $x=a$, $x=b$ и графиками двух непрерывных функций $y=g(x)$ и $y=f(x)$, при условии, что $g(x) \ge f(x)$ на всем отрезке $[a, b]$, используется определенный интеграл.

В данном случае, фигура (криволинейная трапеция) ограничена линиями $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[3; 5]$, и на этом отрезке выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$. Это означает, что график функции $y=g(x)$ находится выше или на том же уровне, что и график функции $y=f(x)$.

Площадь $S$ такой фигуры можно представить как разность площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных осью абсцисс:

1. Площадь $S_1$ фигуры, ограниченной графиком $y=g(x)$ (верхняя граница), осью Оx (нижняя граница) и прямыми $x=3$, $x=5$. Эта площадь равна $\int_{3}^{5} g(x) \,dx$.
2. Площадь $S_2$ фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$ (верхняя граница), осью Оx (нижняя граница) и прямыми $x=3$, $x=5$. Эта площадь равна $\int_{3}^{5} f(x) \,dx$.

Искомая площадь $S$ является разностью $S_1 - S_2$, так как область, ограниченная $y=f(x)$, вычитается из области, ограниченной $y=g(x)$:

$S = S_1 - S_2 = \int_{3}^{5} g(x) \,dx - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Согласно свойству линейности определенного интеграла, разность интегралов равна интегралу разности подынтегральных функций:

$S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$

Эта формула является общим правилом для нахождения площади области между двумя кривыми. Чтобы найти числовое значение площади, необходимо знать конкретные выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$, найти их первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница.

Ответ: Площадь $S$ указанной криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$.