Страница 341, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Из истории создания интегрального исчисления.

Интегральное исчисление — это раздел высшей математики, изучающий свойства интегралов и их приложения, в первую очередь для нахождения площадей криволинейных фигур, объемов тел, длин дуг и решения дифференциальных уравнений. Его создание было длительным процессом, который можно разделить на несколько ключевых этапов.

Предпосылки в античности: метод исчерпывания

Истоки интегрального исчисления можно найти в работах математиков Древней Греции. Для нахождения площадей и объемов они использовали метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским в IV в. до н.э. Суть метода состояла в том, чтобы приблизить сложную фигуру (например, круг) последовательностью более простых фигур (например, вписанных и описанных многоугольников), площади которых можно было вычислить. Увеличивая число сторон многоугольников, можно было "исчерпать" разницу между их площадью и площадью искомой фигуры, таким образом находя ее с любой желаемой точностью.

Наивысшего развития этот метод достиг в трудах Архимеда (III в. до н.э.). С его помощью он смог точно вычислить площадь сегмента параболы, площадь поверхности и объем шара, доказав, что объем шара равен $2/3$ объема описанного около него цилиндра. Работы Архимеда являются прямым предшественником современного интегрального исчисления.

Развитие в Европе: метод неделимых

После длительного застоя научная мысль в Европе в XVI-XVII веках вернулась к задачам на вычисление площадей и объемов. Важным шагом вперед стал метод неделимых, разработанный итальянским математиком Бонавентурой Кавальери. Он представлял плоскую фигуру как совокупность бесконечного числа параллельных отрезков ("неделимых"), а пространственное тело — как совокупность бесконечного числа параллельных плоских сечений. Суммируя эти элементы, он вычислял площади и объемы. Несмотря на недостаточную строгость, метод давал верные результаты и значительно расширил класс решаемых задач.

Параллельно с Кавальери, другие европейские ученые, такие как Иоганн Кеплер (вычислял объемы винных бочек), Пьер де Ферма, Блез Паскаль и Джон Валлис, разработали методы для вычисления площадей под кривыми вида $y = x^n$ для целых и дробных показателей степени.

Создание анализа: Ньютон и Лейбниц

Революционный прорыв, ознаменовавший рождение математического анализа, произошел во второй половине XVII века благодаря работам Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Независимо друг от друга они открыли фундаментальную взаимосвязь между задачами нахождения касательной к кривой (дифференцирование) и нахождения площади под кривой (интегрирование). Эта связь выражается основной теоремой анализа, известной как формула Ньютона-Лейбница:

$ \int_{a}^{b} F'(x) \,dx = F(b) - F(a) $

Эта формула свела задачу вычисления определенного интеграла к более простой задаче нахождения первообразной функции.

Исаак Ньютон разработал свой "метод флюксий" (производных) и "флюент" (первообразных), рассматривая математические величины в их динамическом изменении. Он успешно применял свой аппарат для решения сложнейших задач небесной механики.

Готфрид Вильгельм Лейбниц создал свою версию анализа, исходя из геометрических соображений. Он рассматривал интеграл как сумму бесконечно малых прямоугольников и ввел чрезвычайно удобную символику, которая используется и поныне: знак интеграла $ \int $ (от лат. summa — сумма) и дифференциала $dx$.

Несмотря на ожесточенный спор о приоритете, сегодня научное сообщество признает обоих ученых создателями интегрального и дифференциального исчисления.

Эпоха строгости: Коши, Риман, Лебег

В XVIII веке благодаря работам Леонарда Эйлера и других математиков анализ был систематизирован и получил множество приложений. Однако его логические основы, опиравшиеся на интуитивное понятие "бесконечно малых", оставались шаткими. XIX век стал эпохой придания анализу строгой логической формы.

Огюстен Луи Коши ввел строгие определения предела, непрерывности и производной. Он определил интеграл для непрерывной функции как предел интегральных сумм (сумм Коши).

Бернхард Риман обобщил понятие интеграла, данное Коши, на более широкий класс функций, включая некоторые разрывные функции. Определение интеграла Римана через верхние и нижние суммы Дарбу до сих пор является стандартом в базовых курсах математического анализа.

В начале XX века Анри Лебег, опираясь на созданную им теорию меры, разработал более общее и мощное понятие интеграла Лебега. Оно позволяет интегрировать значительно более широкий класс функций и обладает лучшими свойствами при предельных переходах, что делает его фундаментальным инструментом в современной математике, функциональном анализе и теории вероятностей.

Ответ: История создания интегрального исчисления — это многовековой процесс эволюции математической мысли. Он начался с "метода исчерпывания" в Древней Греции (Евдокс, Архимед), получил развитие в XVII веке в виде "метода неделимых" (Кавальери) и завершился созданием полноценного математического анализа благодаря трудам Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Они установили фундаментальную связь между операциями дифференцирования и интегрирования (формула Ньютона-Лейбница). Последующая работа математиков XIX-XX веков (Коши, Риман, Лебег) придала интегральному исчислению строгую логическую форму и обобщила его до современного состояния.

2. Применения интегралов в различных областях знаний: в астрономии, географии, геодезии, медицине и т. д.

Интегральное исчисление является мощным математическим инструментом, который находит широкое применение в самых разных областях знаний. Основная идея интеграла — нахождение целого по его частям, или, говоря более формально, суммирование бесконечно малых величин. Это позволяет решать задачи, связанные с непрерывно изменяющимися величинами, что характерно для многих природных и социальных процессов.

Применение в астрономии

В астрономии интегралы используются для решения фундаментальных задач, связанных с движением, структурой и эволюцией небесных тел.

• Расчет массы небесных объектов. Плотность планет и звезд, как правило, не является постоянной и изменяется в зависимости от расстояния до центра. Чтобы найти общую массу $M$ такого объекта, необходимо проинтегрировать функцию плотности $ρ$ по всему объему $V$. Для сферически-симметричного объекта с радиусом $R$ и плотностью $ρ(r)$, зависящей от радиуса $r$, масса вычисляется как:
  $M = \int_V ρ dV = \int_0^R ρ(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
• Определение центра масс. Для системы тел или для одного тела сложной формы положение центра масс $r_{цм}$ вычисляется через интеграл:
  $r_{цм} = \frac{1}{M} \int r \cdot dm = \frac{1}{M} \int_V r \cdot ρ dV$
  Это критически важно для понимания динамики вращения планет, астероидов и галактик.
• Вычисление гравитационного потенциала и силы. Гравитационная сила, действующая на пробную массу со стороны протяженного тела, находится путем интегрирования (суммирования) сил от каждой бесконечно малой части этого тела.
• Расчет параметров орбит. Законы движения небесных тел описываются дифференциальными уравнениями. Чтобы найти траекторию движения (положение как функцию времени) по известной скорости или найти скорость по известному ускорению (которое определяется силами гравитации), необходимо выполнить операцию интегрирования. Например, зная ускорение $a(t)$, можно найти скорость $v(t)$ и положение $x(t)$:
  $v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(\tau) d\tau$
  $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(\tau) d\tau$

Ответ: В астрономии интегралы применяются для вычисления массы, центра масс, гравитационного поля и траекторий движения небесных тел путем суммирования их характеристик по объему или времени.

Применение в географии

География использует интегралы для количественного описания объектов и явлений на поверхности Земли.

• Вычисление площади регионов. С помощью определенных интегралов можно точно рассчитать площадь территорий со сложными, нелинейными границами (например, озер, островов, административных районов), представленных на карте. Если северная граница области задана функцией $y = f(x)$, а южная — $y = g(x)$ на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ равна:
  $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$
• Определение объема природных объектов. Интегралы позволяют вычислить объем воды в озере или объем холма. Для этого объект "нарезается" на тонкие горизонтальные слои, площади которых известны как функции высоты $S(h)$. Общий объем $V$ находится интегрированием площади сечения по высоте:
  $V = \int_0^{H} S(h) dh$, где $H$ — максимальная высота или глубина.
• Расчет длины рек и береговых линий. Длину извилистого участка реки или побережья, который можно описать кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, находят с помощью интеграла для вычисления длины дуги:
  $L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$
• Оценка численности населения. Если известна функция плотности населения $ρ(x, y)$ для некоторого региона $R$, то общую численность населения $N$ можно найти с помощью двойного интеграла:
  $N = \iint_R ρ(x, y) dA$

Ответ: В географии интегралы используются для точного расчета площадей, объемов, длин географических объектов и для оценки демографических показателей на основе данных о их плотности.

Применение в геодезии

Геодезия — наука о точном измерении Земли. Учитывая, что Земля не является идеальной сферой, а имеет форму геоида (сложной фигуры), интегральное исчисление становится незаменимым.

• Вычисление площади поверхности. Расчет площади участка земной поверхности на эллипсоиде или геоиде требует использования поверхностных интегралов. Форма Земли усложняет эти расчеты по сравнению с простой сферой.
• Определение длины геодезических линий. Геодезическая линия — это кратчайший путь между двумя точками на искривленной поверхности. Ее длина вычисляется с помощью криволинейных интегралов, учитывающих метрику (способ измерения расстояний) на поверхности земного эллипсоида.
• Построение модели геоида. Форма геоида (эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли) определяется на основе гравиметрических измерений. Высота геоида над референц-эллипсоидом в определенной точке вычисляется с помощью интеграла Стокса, который связывает гравитационные аномалии по всей Земле с формой геоида.

Ответ: В геодезии интегралы являются ключевым инструментом для вычисления точных площадей и расстояний на неидеальной поверхности Земли и для построения глобальной модели ее гравитационного поля и формы (геоида).

Применение в медицине

В медицине и фармакологии интегралы помогают количественно оценить динамические процессы в организме.

• Фармакокинетика. Одна из важнейших характеристик лекарственного препарата — "площадь под кривой" (Area Under the Curve, AUC). Она представляет собой интеграл от концентрации лекарства в плазме крови $C(t)$ по времени и характеризует общую экспозицию организма к препарату.
  $AUC = \int_0^\infty C(t) dt$
  AUC используется для сравнения биодоступности различных форм лекарств и определения правильной дозировки.
• Определение минутного объема кровообращения (сердечного выброса). С помощью метода разведения индикатора можно измерить скорость кровотока. В артерию вводится известное количество $A$ индикатора (например, красителя). Затем в течение времени измеряется его концентрация $C(t)$ в артериальной крови. Сердечный выброс $F$ (объем крови в минуту) рассчитывается по формуле:
  $F = \frac{A}{\int_0^T C(t) dt}$, где $T$ — время, за которое весь индикатор прошел через точку измерения.
• Медицинская визуализация. Методы, такие как компьютерная томография (КТ), основаны на интегральных преобразованиях. КТ-сканер измеряет ослабление рентгеновских лучей, проходящих через тело под разными углами. Каждое такое измерение является линейным интегралом (преобразованием Радона) от функции плотности тканей вдоль луча. Затем компьютер, решая сложную систему интегральных уравнений (используя алгоритмы обратного преобразования), восстанавливает двухмерное или трехмерное изображение внутренних органов.
• Моделирование роста опухолей. Если известна скорость роста опухоли $V'(t)$, то ее объем $V(t)$ в любой момент времени можно найти, проинтегрировав эту скорость.

Ответ: В медицине интегралы применяются для оценки воздействия лекарств на организм (AUC), измерения физиологических параметров, таких как сердечный выброс, и лежат в основе современных методов диагностики, например, компьютерной томографии.

3. Вычисление объёмов и площадей поверхности тел вращения при помощи определённого интеграла.

Определённый интеграл является мощным инструментом для вычисления геометрических величин, таких как объёмы и площади поверхностей. Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в той же плоскости.

Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, полученного вращением плоской фигуры, можно найти, просуммировав объёмы бесконечно малых элементов (дисков, шайб или цилиндрических слоёв). В зависимости от оси вращения и способа задания кривой, используются разные формулы.

1. Вращение вокруг оси Ox (метод дисков). Пусть криволинейная трапеция ограничена непрерывной и неотрицательной функцией $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x = a$ и $x = b$. При вращении этой трапеции вокруг оси $Ox$ образуется тело вращения. Объём этого тела вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения. Поперечное сечение в точке $x$ представляет собой круг радиусом $r = y = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2$. Объём элементарного диска с толщиной $dx$ равен $dV = \pi [f(x)]^2 dx$. Интегрируя по $x$ от $a$ до $b$, получаем общую формулу объёма:

$V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Если тело образовано вращением фигуры, заключенной между двумя кривыми $y_1 = f_1(x)$ и $y_2 = f_2(x)$ (где $f_1(x) \ge f_2(x) \ge 0$), то объём находится как разность объёмов двух тел вращения (метод шайб):

$V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} ([f_1(x)]^2 - [f_2(x)]^2) dx$

2. Вращение вокруг оси Oy. Если фигура ограничена кривой $x = g(y)$, осью ординат $Oy$ и прямыми $y = c$ и $y = d$, то при вращении вокруг оси $Oy$ объём тела вычисляется аналогично:

$V_{Oy} = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

3. Кривая задана параметрически. Пусть кривая задана уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, где $t \in [t_1, t_2]$. Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, вычисляется по формулам:

• При вращении вокруг оси $Ox$: $V_{Ox} = \pi \int_{t_1}^{t_2} [y(t)]^2 x'(t) dt$
• При вращении вокруг оси $Oy$: $V_{Oy} = \pi \int_{t_1}^{t_2} [x(t)]^2 y'(t) dt$

Здесь необходимо учитывать направление обхода кривой, чтобы интеграл был положительным. Часто используется $V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx = \pi \int_{t_1}^{t_2} y(t)^2 |x'(t)| dt$.

Ответ: Объём тела вращения, образованного криволинейной трапецией $a \le x \le b, 0 \le y \le f(x)$ вокруг оси $Ox$, равен $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$. Для вращения вокруг оси $Oy$ фигуры $c \le y \le d, 0 \le x \le g(y)$ объём равен $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$.

Вычисление площадей поверхности тел вращения

Площадь поверхности тела вращения — это площадь боковой поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси (без учёта площади оснований).

1. Вращение вокруг оси Ox. Пусть гладкая кривая задана функцией $y = f(x)$, где $x \in [a, b]$ и $f(x) \ge 0$. Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси $Ox$, вычисляется по формуле:

$S_{Ox} = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

Здесь $f(x)$ — это радиус вращения, а $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$ — это дифференциал длины дуги $ds$. Формулу можно записать как $S_{Ox} = 2\pi \int_{L} y \, ds$.

2. Вращение вокруг оси Oy. Если кривая задана функцией $x = g(y)$, где $y \in [c, d]$ и $g(y) \ge 0$, то площадь поверхности при вращении вокруг оси $Oy$ равна:

$S_{Oy} = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$

Или, в более общем виде, $S_{Oy} = 2\pi \int_{L} x \, ds$.

3. Кривая задана параметрически. Пусть кривая задана уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, где $t \in [t_1, t_2]$. Дифференциал длины дуги $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$.

• При вращении вокруг оси $Ox$ (при $y(t) \ge 0$): $S_{Ox} = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$
• При вращении вокруг оси $Oy$ (при $x(t) \ge 0$): $S_{Oy} = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$

4. Кривая задана в полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением $r = r(\theta)$, где $\theta \in [\alpha, \beta]$. Дифференциал длины дуги в полярных координатах: $ds = \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$.

• При вращении вокруг полярной оси (оси $Ox$): $y = r \sin\theta$. Площадь поверхности: $S_{Ox} = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} r(\theta) \sin\theta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$ (при $r\sin\theta \ge 0$)
• При вращении вокруг оси $\theta = \pi/2$ (оси $Oy$): $x = r \cos\theta$. Площадь поверхности: $S_{Oy} = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} r(\theta) \cos\theta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$ (при $r\cos\theta \ge 0$)

Ответ: Площадь поверхности тела, образованного вращением дуги кривой $y = f(x)$ ($x \in [a,b]$) вокруг оси $Ox$, равна $S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$. Для параметрически заданной кривой $x = x(t), y = y(t)$ ($t \in [t_1, t_2]$) при вращении вокруг оси $Ox$ площадь равна $S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$.

4. Применение интегралов при решении простейших дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции с её производными различных порядков. Решить дифференциальное уравнение означает найти все функции, которые ему удовлетворяют. Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию, является основным инструментом для решения дифференциальных уравнений.

Простейшими дифференциальными уравнениями являются уравнения первого порядка, которые можно решить методом прямого интегрирования или методом разделения переменных.

Уравнения вида $y' = f(x)$

Это самый простой тип дифференциальных уравнений. Здесь производная искомой функции $y(x)$ равна известной функции $f(x)$. Чтобы найти $y(x)$, нужно просто проинтегрировать функцию $f(x)$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = f(x)$

Это выражение можно рассматривать как равенство дифференциалов, умножив обе части на $dx$:

$dy = f(x)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dy = \int f(x)dx$

Интеграл от $dy$ равен $y$, а интеграл от $f(x)dx$ является первообразной для $f(x)$, которую обозначим как $F(x)$. Поскольку неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной, мы добавляем константу интегрирования $C$:

$y = F(x) + C$

Это выражение называется общим решением дифференциального уравнения. Оно представляет собой семейство функций (интегральных кривых), каждая из которых соответствует определенному значению константы $C$. Чтобы найти частное решение, необходимо задать начальное условие, например, $y(x_0) = y_0$.

Пример: Найти общее решение уравнения $y' = 3x^2 + \sin(x)$.

Решение:

$y(x) = \int (3x^2 + \sin(x))dx = \int 3x^2dx + \int \sin(x)dx = 3 \frac{x^3}{3} - \cos(x) + C = x^3 - \cos(x) + C$

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения вида $y' = f(x)$ находится путем прямого интегрирования правой части: $y(x) = \int f(x)dx + C$.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это уравнения вида:

$y' = f(x)g(y)$

или в более общем виде:

$M(x)dx + N(y)dy = 0$

Основная идея метода — "разделить" переменные, то есть перегруппировать члены уравнения так, чтобы с одной стороны от знака равенства находились только выражения, зависящие от $x$ и $dx$, а с другой — только выражения, зависящие от $y$ и $dy$.

Рассмотрим уравнение $y' = f(x)g(y)$. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

Предполагая, что $g(y) \ne 0$, разделим переменные, умножив на $dx$ и разделив на $g(y)$:

$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$

Теперь, когда переменные разделены, мы можем проинтегрировать обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$

Вычислив оба интеграла, мы получим выражение, связывающее $x$ и $y$, которое называется общим интегралом дифференциального уравнения. Часто это решение получается в неявном виде, то есть не разрешенным относительно $y$.

Пример: Найти общее решение уравнения $y' = \frac{x}{y}$.

Решение:

1. Записываем производную в виде отношения дифференциалов: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

2. Разделяем переменные: $y dy = x dx$

3. Интегрируем обе части: $\int y dy = \int x dx$

4. Вычисляем интегралы: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_1$

Для упрощения вида ответа можно умножить всё на 2 и переобозначить константу ($C = 2C_1$):

$y^2 = x^2 + C$ или $y^2 - x^2 = C$

Это общий интеграл уравнения, представляющий собой семейство гипербол.

Ответ: Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными сводится к приведению его к виду $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ и последующему интегрированию обеих частей: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C$.