Номер 3, страница 341, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 8 - номер 3, страница 341.

Условие.

3. Вычисление объёмов и площадей поверхности тел вращения при помощи определённого интеграла.

Решение 6.

Определённый интеграл является мощным инструментом для вычисления геометрических величин, таких как объёмы и площади поверхностей. Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в той же плоскости.

Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, полученного вращением плоской фигуры, можно найти, просуммировав объёмы бесконечно малых элементов (дисков, шайб или цилиндрических слоёв). В зависимости от оси вращения и способа задания кривой, используются разные формулы.

1. Вращение вокруг оси Ox (метод дисков). Пусть криволинейная трапеция ограничена непрерывной и неотрицательной функцией $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x = a$ и $x = b$. При вращении этой трапеции вокруг оси $Ox$ образуется тело вращения. Объём этого тела вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения. Поперечное сечение в точке $x$ представляет собой круг радиусом $r = y = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2$. Объём элементарного диска с толщиной $dx$ равен $dV = \pi [f(x)]^2 dx$. Интегрируя по $x$ от $a$ до $b$, получаем общую формулу объёма:

$V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Если тело образовано вращением фигуры, заключенной между двумя кривыми $y_1 = f_1(x)$ и $y_2 = f_2(x)$ (где $f_1(x) \ge f_2(x) \ge 0$), то объём находится как разность объёмов двух тел вращения (метод шайб):

$V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} ([f_1(x)]^2 - [f_2(x)]^2) dx$

2. Вращение вокруг оси Oy. Если фигура ограничена кривой $x = g(y)$, осью ординат $Oy$ и прямыми $y = c$ и $y = d$, то при вращении вокруг оси $Oy$ объём тела вычисляется аналогично:

$V_{Oy} = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

3. Кривая задана параметрически. Пусть кривая задана уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, где $t \in [t_1, t_2]$. Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, вычисляется по формулам:

• При вращении вокруг оси $Ox$: $V_{Ox} = \pi \int_{t_1}^{t_2} [y(t)]^2 x'(t) dt$
• При вращении вокруг оси $Oy$: $V_{Oy} = \pi \int_{t_1}^{t_2} [x(t)]^2 y'(t) dt$

Здесь необходимо учитывать направление обхода кривой, чтобы интеграл был положительным. Часто используется $V_{Ox} = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx = \pi \int_{t_1}^{t_2} y(t)^2 |x'(t)| dt$.

Ответ: Объём тела вращения, образованного криволинейной трапецией $a \le x \le b, 0 \le y \le f(x)$ вокруг оси $Ox$, равен $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$. Для вращения вокруг оси $Oy$ фигуры $c \le y \le d, 0 \le x \le g(y)$ объём равен $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$.

Вычисление площадей поверхности тел вращения

Площадь поверхности тела вращения — это площадь боковой поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси (без учёта площади оснований).

1. Вращение вокруг оси Ox. Пусть гладкая кривая задана функцией $y = f(x)$, где $x \in [a, b]$ и $f(x) \ge 0$. Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси $Ox$, вычисляется по формуле:

$S_{Ox} = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

Здесь $f(x)$ — это радиус вращения, а $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$ — это дифференциал длины дуги $ds$. Формулу можно записать как $S_{Ox} = 2\pi \int_{L} y \, ds$.

2. Вращение вокруг оси Oy. Если кривая задана функцией $x = g(y)$, где $y \in [c, d]$ и $g(y) \ge 0$, то площадь поверхности при вращении вокруг оси $Oy$ равна:

$S_{Oy} = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$

Или, в более общем виде, $S_{Oy} = 2\pi \int_{L} x \, ds$.

3. Кривая задана параметрически. Пусть кривая задана уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, где $t \in [t_1, t_2]$. Дифференциал длины дуги $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$.

• При вращении вокруг оси $Ox$ (при $y(t) \ge 0$): $S_{Ox} = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$
• При вращении вокруг оси $Oy$ (при $x(t) \ge 0$): $S_{Oy} = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$

4. Кривая задана в полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением $r = r(\theta)$, где $\theta \in [\alpha, \beta]$. Дифференциал длины дуги в полярных координатах: $ds = \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$.

• При вращении вокруг полярной оси (оси $Ox$): $y = r \sin\theta$. Площадь поверхности: $S_{Ox} = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} r(\theta) \sin\theta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$ (при $r\sin\theta \ge 0$)
• При вращении вокруг оси $\theta = \pi/2$ (оси $Oy$): $x = r \cos\theta$. Площадь поверхности: $S_{Oy} = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} r(\theta) \cos\theta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$ (при $r\cos\theta \ge 0$)

Ответ: Площадь поверхности тела, образованного вращением дуги кривой $y = f(x)$ ($x \in [a,b]$) вокруг оси $Ox$, равна $S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$. Для параметрически заданной кривой $x = x(t), y = y(t)$ ($t \in [t_1, t_2]$) при вращении вокруг оси $Ox$ площадь равна $S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$.