Номер 8, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §49 - номер 8, страница 339.

Условие.

8. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$, $y=g(x)$, где $y=f(x)$, $y=g(x)$ — непрерывные функции на отрезке $[3; 5]$, причём на этом отрезке выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$?

Решение 6.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной вертикальными прямыми $x=a$, $x=b$ и графиками двух непрерывных функций $y=g(x)$ и $y=f(x)$, при условии, что $g(x) \ge f(x)$ на всем отрезке $[a, b]$, используется определенный интеграл.

В данном случае, фигура (криволинейная трапеция) ограничена линиями $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[3; 5]$, и на этом отрезке выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$. Это означает, что график функции $y=g(x)$ находится выше или на том же уровне, что и график функции $y=f(x)$.

Площадь $S$ такой фигуры можно представить как разность площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных осью абсцисс:

1. Площадь $S_1$ фигуры, ограниченной графиком $y=g(x)$ (верхняя граница), осью Оx (нижняя граница) и прямыми $x=3$, $x=5$. Эта площадь равна $\int_{3}^{5} g(x) \,dx$.
2. Площадь $S_2$ фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$ (верхняя граница), осью Оx (нижняя граница) и прямыми $x=3$, $x=5$. Эта площадь равна $\int_{3}^{5} f(x) \,dx$.

Искомая площадь $S$ является разностью $S_1 - S_2$, так как область, ограниченная $y=f(x)$, вычитается из области, ограниченной $y=g(x)$:

$S = S_1 - S_2 = \int_{3}^{5} g(x) \,dx - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Согласно свойству линейности определенного интеграла, разность интегралов равна интегралу разности подынтегральных функций:

$S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$

Эта формула является общим правилом для нахождения площади области между двумя кривыми. Чтобы найти числовое значение площади, необходимо знать конкретные выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$, найти их первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница.

Ответ: Площадь $S$ указанной криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$.