Номер 3, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §49. ч. 1 - номер 3, страница 339.

3. В чем состоит физический смысл определённого интеграла?

Физический смысл определённого интеграла заключается в вычислении суммарного (накопленного) значения некоторой физической величины по определённому интервалу (времени, длины, объёма и т.д.), если известна функция, описывающая скорость изменения этой величины или её распределение (плотность).

В общем виде, если функция $f(x)$ представляет собой скорость изменения некоторой величины $F(x)$ (то есть, $f(x) = F'(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ даёт полное изменение величины $F(x)$ при изменении $x$ от $a$ до $b$:

$\Delta F = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Рассмотрим несколько классических примеров из физики.

1. Путь, пройденный телом

Пусть известна функция скорости тела $v(t)$, которая может меняться со временем $t$. Скорость — это производная от пути $S$ по времени, то есть $v(t) = S'(t)$. Чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо проинтегрировать функцию скорости по времени. Интеграл как бы «суммирует» все бесконечно малые перемещения $dS = v(t)dt$ на данном временном отрезке.

Путь $S$, пройденный телом за время от $t_1$ до $t_2$ при движении с переменной скоростью $v(t)$, равен:

$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Геометрически это площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$.

2. Работа переменной силы

Пусть тело перемещается вдоль оси $Ox$ под действием силы $F(x)$, величина которой зависит от положения тела $x$. Работа $A$, совершаемая постоянной силой, равна произведению силы на перемещение. Для переменной силы работа на малом перемещении $dx$ равна $dA = F(x)dx$. Чтобы найти полную работу при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, необходимо сложить (проинтегрировать) работы на всех малых участках.

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, равна:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

Геометрически это площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения $F(x)$.

3. Масса неоднородного стержня

Рассмотрим стержень, расположенный на оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$. Если стержень неоднороден, его линейная плотность $\rho(x)$ (масса на единицу длины) является функцией координаты $x$. Плотность — это производная массы по длине, $\rho(x) = m'(x)$. Масса малого участка стержня длиной $dx$ равна $dm = \rho(x)dx$. Для нахождения общей массы стержня нужно просуммировать массы всех таких малых участков.

Масса $m$ стержня на отрезке от $a$ до $b$ с переменной линейной плотностью $\rho(x)$ равна:

$m = \int_{a}^{b} \rho(x) dx$

4. Заряд, прошедший через проводник

Пусть по проводнику течёт ток $I(t)$, сила которого изменяется со временем $t$. Сила тока по определению — это скорость протекания заряда через поперечное сечение проводника, то есть $I(t) = q'(t)$. Заряд $dq$, который проходит через сечение за малое время $dt$, равен $dq = I(t)dt$. Чтобы найти полный заряд, прошедший за конечный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо проинтегрировать силу тока.

Полный заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время от $t_1$ до $t_2$ при переменном токе $I(t)$, равен:

$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$

Ответ: Физический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ состоит в нахождении суммарного значения или полного изменения некоторой физической величины на интервале $[a, b]$, при условии, что подынтегральная функция $f(x)$ описывает скорость изменения этой величины или её плотность распределения по переменной $x$.