Номер 4, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §49. ч. 1 - номер 4, страница 339.

4. Запишите формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница, также известная как основная теорема анализа (или основная теорема высшей математики), устанавливает фундаментальную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Она позволяет вычислять определённый интеграл от непрерывной функции через нахождение её первообразной.

Формулировка теоремы: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является любой первообразной для функции $f(x)$ на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен разности значений первообразной $F(x)$ на концах этого отрезка (на верхнем и нижнем пределах интегрирования).

Математически это выражается следующей формулой:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$

В данной формуле:
$f(x)$ — это подынтегральная функция.
$[a, b]$ — это отрезок интегрирования, где $a$ — нижний предел, а $b$ — верхний предел.
$F(x)$ — это любая из первообразных функции $f(x)$. Важно, что результат не зависит от выбора конкретной первообразной. Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две разные первообразные для $f(x)$, то они отличаются на константу: $F_2(x) = F_1(x) + C$. Тогда разность значений будет одинаковой: $(F_1(b) + C) - (F_1(a) + C) = F_1(b) - F_1(a)$.

Для краткости записи разность $F(b) - F(a)$ принято обозначать с помощью двойной подстановки:

$$ F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b $$

С учётом этого обозначения, формула Ньютона-Лейбница часто записывается в виде:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b $$

Таким образом, процесс вычисления определённого интеграла с помощью этой формулы сводится к двум основным шагам: нахождению первообразной для подынтегральной функции и вычислению разности её значений на границах промежутка интегрирования.

Ответ: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а $F(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке (то есть $F'(x)=f(x)$).