Номер 2, страница 339, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §49. ч. 1 - номер 2, страница 339.

2. В чем состоит геометрический смысл определённого интеграла?

Геометрический смысл определённого интеграла $ \int_a^b f(x) \,dx $ заключается в вычислении алгебраической площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Понятие "алгебраическая площадь" означает, что площади частей фигуры, расположенных над осью Ox, берутся со знаком «плюс», а площади частей, расположенных под осью Ox, — со знаком «минус».

Рассмотрим это подробнее в различных случаях.

Случай 1: Неотрицательная функция ($f(x) \ge 0$)

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то её график полностью лежит выше или на оси Ox. В этом случае определённый интеграл от этой функции численно равен геометрической площади фигуры, называемой криволинейной трапецией. Эта фигура ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — отрезком $[a, b]$ оси Ox, и с боков — прямыми $x=a$ и $x=b$.
Формула для площади $S$:
$ S = \int_a^b f(x) \,dx $

Случай 2: Неположительная функция ($f(x) \le 0$)

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и неположительна на отрезке $[a, b]$, её график расположен под осью Ox. Значение определённого интеграла в этом случае будет отрицательным.
$ \int_a^b f(x) \,dx \le 0 $
Геометрическая площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, равна модулю значения интеграла (или интегралу, взятому с противоположным знаком).
Формула для площади $S$:
$ S = \left| \int_a^b f(x) \,dx \right| = - \int_a^b f(x) \,dx $

Случай 3: Функция, меняющая знак

Если функция $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл $ \int_a^b f(x) \,dx $ выражает разность между суммой площадей фигур, лежащих над осью Ox, и суммой площадей фигур, лежащих под осью Ox.
Например, если функция пересекает ось Ox в точке $c \in (a, b)$, причем $f(x) \ge 0$ на $[a, c]$ и $f(x) \le 0$ на $[c, b]$, то:
$ \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx = S_{над} - S_{под} $
где $S_{над}$ — площадь над осью, а $S_{под}$ — площадь под осью.
Чтобы найти полную геометрическую площадь фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$ и осью Ox на отрезке $[a,b]$, необходимо найти интеграл от модуля функции:
$ S_{общая} = \int_a^b |f(x)| \,dx $

Ответ: Геометрический смысл определённого интеграла $\int_a^b f(x) \,dx$ состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, при условии, что $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$. В общем случае, когда функция может принимать и положительные, и отрицательные значения, определённый интеграл равен алгебраической сумме площадей фигур, заключенных между графиком функции и осью Ox, где площади над осью Ox берутся со знаком «плюс», а площади под осью Ox — со знаком «минус».