Номер 3, страница 329, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §48. ч. 1 - номер 3, страница 329.

3. Какие из приведённых ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие — нет:

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

в) первообразная разности равна разности первообразных;

г) первообразная частного равна частному первообразных?

а) первообразная суммы равна сумме первообразных

Это утверждение верно. Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, и пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются их первообразными соответственно. Это означает, что по определению первообразной $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Мы хотим проверить, является ли сумма первообразных $F(x) + G(x)$ первообразной для суммы функций $f(x) + g(x)$. Для этого найдем производную от суммы первообразных $F(x) + G(x)$. Используя свойство линейности производной (производная суммы равна сумме производных), получаем: $(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)$. Подставляя известные нам равенства $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получаем: $(F(x) + G(x))' = f(x) + g(x)$. Так как производная от $F(x) + G(x)$ равна $f(x) + g(x)$, то по определению функция $F(x) + G(x)$ является первообразной для функции $f(x) + g(x)$. Это одно из основных правил интегрирования.
Ответ: верно.

б) первообразная произведения равна произведению первообразных

Это утверждение неверно. Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, то есть $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Проверим, будет ли произведение первообразных $F(x) \cdot G(x)$ первообразной для произведения функций $f(x) \cdot g(x)$. Для этого найдем производную от $F(x) \cdot G(x)$ по правилу дифференцирования произведения (правилу Лейбница): $(F(x) \cdot G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$. Подставив $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получим: $(F(x) \cdot G(x))' = f(x)G(x) + F(x)g(x)$. Полученное выражение $f(x)G(x) + F(x)g(x)$ в общем случае не равно $f(x)g(x)$. Приведем контрпример. Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Тогда произведение функций $f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot 1 = 1$. Первообразная для этой функции равна $x$ (если взять константу интегрирования равной 0). Теперь найдем первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ по отдельности. Первообразная для $f(x) = 1$ есть $F(x) = x$. Первообразная для $g(x) = 1$ есть $G(x) = x$. Произведение первообразных: $F(x) \cdot G(x) = x \cdot x = x^2$. Сравнивая результаты, видим, что первообразная произведения ($x$) не равна произведению первообразных ($x^2$). Следовательно, утверждение неверно. Для нахождения первообразной произведения используется более сложный метод — интегрирование по частям.
Ответ: нет.

в) первообразная разности равна разности первообразных

Это утверждение верно. Доказательство аналогично пункту а). Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$, что значит $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Проверим, является ли разность первообразных $F(x) - G(x)$ первообразной для разности функций $f(x) - g(x)$. Найдем производную от $F(x) - G(x)$, используя свойство линейности производной (производная разности равна разности производных): $(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x)$. Подставляя $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получаем: $(F(x) - G(x))' = f(x) - g(x)$. Поскольку производная от $F(x) - G(x)$ равна $f(x) - g(x)$, то $F(x) - G(x)$ является первообразной для $f(x) - g(x)$.
Ответ: верно.

г) первообразная частного равна частному первообразных

Это утверждение неверно. Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно ($F'(x) = f(x)$, $G'(x) = g(x)$). Проверим, будет ли частное первообразных $\frac{F(x)}{G(x)}$ первообразной для частного функций $\frac{f(x)}{g(x)}$. Найдем производную от $\frac{F(x)}{G(x)}$ по правилу дифференцирования частного: $\left(\frac{F(x)}{G(x)}\right)' = \frac{F'(x)G(x) - F(x)G'(x)}{(G(x))^2}$. Подставив $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получим: $\left(\frac{F(x)}{G(x)}\right)' = \frac{f(x)G(x) - F(x)g(x)}{(G(x))^2}$. Это выражение в общем случае не равно $\frac{f(x)}{g(x)}$. Приведем тот же контрпример, что и в пункте б). Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Частное функций: $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{1} = 1$. Первообразная для $1$ есть $x$. Первообразные для $f(x)=1$ и $g(x)=1$ есть $F(x)=x$ и $G(x)=x$ соответственно. Частное первообразных: $\frac{F(x)}{G(x)} = \frac{x}{x} = 1$ (при $x \neq 0$). Сравнивая результаты, видим, что первообразная частного ($x$) не равна частному первообразных ($1$). Утверждение неверно. В общем виде простого правила для нахождения первообразной частного не существует.
Ответ: нет.