Номер 8, страница 321, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 8, страница 321.

8. Чему равна производная функции $y = \ln x$?

a. $1$

$x$

$1$

$\frac{1}{x}$

Для нахождения производной функции натурального логарифма $y = \ln x$ можно воспользоваться правилом дифференцирования обратной функции. Этот метод является одним из стандартных способов вывода данной производной.

1. Определение обратной функции. Функция $y = \ln x$ по определению является обратной к показательной функции $x = e^y$. Область определения для $y = \ln x$ — это все положительные действительные числа, то есть $x > 0$.

2. Нахождение производной обратной функции. Нам нужно продифференцировать функцию $x = e^y$ по переменной $y$. Производная экспоненциальной функции $e^y$ по $y$ известна и равна самой функции:

$\frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

3. Применение формулы производной обратной функции. Эта формула связывает производную исходной функции $y'(x) = \frac{dy}{dx}$ с производной обратной ей функции $\frac{dx}{dy}$ следующим образом:

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

4. Подстановка и получение результата. Подставляем результат из шага 2 в формулу из шага 3:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$

Теперь необходимо выразить полученный результат через исходную переменную $x$. Из шага 1 мы знаем, что $x = e^y$. Заменяем $e^y$ на $x$ в знаменателе:

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Таким образом, мы доказали, что производная функции натурального логарифма $y = \ln x$ равна $\frac{1}{x}$. Это один из фундаментальных результатов математического анализа.

Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$