Номер 4, страница 320, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §47. ч. 1 - номер 4, страница 320.

4. Что такое натуральный логарифм?

4.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$, где $e$ — это иррациональная и трансцендентная математическая константа, известная как число Эйлера. Её приближенное значение составляет $e \approx 2.718281828$.

Обозначение и определение

Натуральный логарифм числа $x$ обозначается как $ln(x)$. Эта запись является общепринятым сокращением для $\log_e(x)$.

Формально, равенство $y = ln(x)$ эквивалентно равенству $e^y = x$.

Это означает, что натуральный логарифм числа $x$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $e$, чтобы получить число $x$. Например: $ln(e) = 1$, так как $e^1 = e$; $ln(1) = 0$, так как $e^0 = 1$; $ln(e^2) = 2$, так как $e^2 = e^2$. Натуральный логарифм определен только для положительных чисел ($x > 0$).

Свойства

Натуральный логарифм обладает всеми стандартными свойствами логарифмов:
- Логарифм произведения: $ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b)$
- Логарифм частного: $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
- Логарифм степени: $ln(a^p) = p \cdot ln(a)$
- Основное логарифмическое тождество: $e^{ln(x)} = x$ для $x > 0$
- Свойство $ln(e^x) = x$ для любого действительного $x$

Применение и значимость

Приставка "натуральный" связана с тем, что эта функция и ее основание $e$ возникают естественным образом во многих областях науки и математики. В математическом анализе натуральный логарифм играет ключевую роль, поскольку его производная имеет очень простой вид:
$(ln(x))' = \frac{1}{x}$

Это свойство делает его фундаментальным инструментом при решении дифференциальных уравнений и вычислении интегралов. Например, интеграл от функции $f(x) = 1/x$ равен $ln|x| + C$.

Натуральные логарифмы также широко используются для описания процессов непрерывного роста или затухания, таких как рост популяций, радиоактивный распад или начисление сложных процентов по непрерывной ставке.

Ответ: Натуральный логарифм (обозначается $ln(x)$) — это логарифм по основанию $e$, где $e$ — это число Эйлера, специальная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Он показывает, в какую степень нужно возвести число $e$, чтобы получить $x$.