Номер 2, страница 311, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §45. ч. 1 - номер 2, страница 311.

2. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

a) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ в зависимости от ее основания $a$. По условию задачи, основание $a$ находится в интервале $0 < a < 1$. Для таких значений основания логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Монотонно убывающая функция обладает свойством: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При решении логарифмических неравенств это означает, что если $\log_a u \le \log_a v$, то $u \ge v$. Иными словами, при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим данное нам неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ обеспечивают, что оба логарифма определены. Поскольку основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то при "снятии" логарифмов знак неравенства $\le$ должен измениться на $\ge$. Таким образом, неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

а) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$

Данное утверждение неверно. Равносильность $\log_a f(x) \le \log_a g(x) \iff f(x) \le g(x)$ справедлива только для монотонно возрастающей логарифмической функции, то есть при основании $a > 1$. Так как по условию $0 < a < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства должен меняться на противоположный.
Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$

Данное утверждение верно. В соответствии со свойством убывающей логарифмической функции (при $0 < a < 1$), меньшему значению логарифма соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переход от неравенства $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ к неравенству $f(x) \ge g(x)$ является правильным и равносильным преобразованием.
Ответ: утверждение верно.