Номер 1, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §44 - номер 1, страница 306.

Условие.

1. Можно ли утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$, $a \ne 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Решение 6.

1. Да, можно утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ при заданных условиях $a > 0, a \neq 1$. Разберем это утверждение подробно.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) совпадают. Чтобы доказать равносильность уравнений $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (далее Уравнение 1) и $f(x) = g(x)$ (далее Уравнение 2), необходимо показать, что каждый корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2, и наоборот.

Для этого сначала сравним их области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.

Для Уравнения 1: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Показательная функция $a^t$ определена для любого действительного значения показателя $t$. Следовательно, выражения $a^{f(x)}$ и $a^{g(x)}$ имеют смысл тогда и только тогда, когда определены функции $f(x)$ и $g(x)$. Таким образом, ОДЗ Уравнения 1 есть пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$, то есть $D(f) \cap D(g)$.

Для Уравнения 2: $f(x) = g(x)$. Выражения в этом уравнении имеют смысл также тогда и только тогда, когда определены функции $f(x)$ и $g(x)$. Таким образом, ОДЗ Уравнения 2 также является $D(f) \cap D(g)$.

Поскольку ОДЗ обоих уравнений совпадают, они рассматриваются на одном и том же множестве значений $x$, что является необходимым условием для равносильности.

Теперь докажем, что множества решений совпадают.

1. Покажем, что любой корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2.
Пусть $x_0$ — корень Уравнения 1. Это означает, что $x_0$ принадлежит ОДЗ и для него выполняется равенство: $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$.
Показательная функция $y(t) = a^t$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ является строго монотонной (возрастающей при $a > 1$ и убывающей при $0 < a < 1$). Из свойства строгой монотонности следует, что функция является взаимно однозначной (инъективной). Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, и наоборот. Следовательно, если $a^{t_1} = a^{t_2}$, то это возможно только тогда, когда $t_1 = t_2$. Применив это свойство к нашему равенству, получаем $f(x_0) = g(x_0)$. Это означает, что $x_0$ также является корнем Уравнения 2.

2. Покажем, что любой корень Уравнения 2 является корнем Уравнения 1.
Пусть $x_0$ — корень Уравнения 2. Это означает, что $x_0$ принадлежит ОДЗ и для него выполняется равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.
Если два числа равны, то, по определению функции, применение одной и той же функции к этим числам даст равные результаты. Применим к обеим частям равенства показательную функцию с основанием $a$: $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$. Это означает, что $x_0$ также является корнем Уравнения 1.

Поскольку мы показали, что любой корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2, и любой корень Уравнения 2 является корнем Уравнения 1, их множества решений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: Да, можно утверждать, что данные уравнения равносильны. Переход от уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ и обратно является равносильным преобразованием при условии, что основание степени $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Это следует из того, что, во-первых, области допустимых значений обоих уравнений совпадают, а во-вторых, показательная функция является взаимно однозначной (инъективной).