Номер 3, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §43. ч. 1 - номер 3, страница 301.

3. Приведите пример конкретных значений $b$ и $c$, когда равенство $lg bc = lg b + lg c$ является верным, и пример, когда это равенство не является верным.

Данное равенство $lg(bc) = lg(b) + lg(c)$ является одним из основных свойств логарифмов, известным как "логарифм произведения". Однако, для его корректного применения необходимо учитывать область определения логарифмической функции.

Область определения десятичного логарифма ($lg$) требует, чтобы его аргумент был строго положительным. Проанализируем области определения для обеих частей равенства:

• Для левой части $lg(bc)$, выражение имеет смысл, когда $bc > 0$. Это выполняется в двух случаях: либо $b > 0$ и $c > 0$, либо $b < 0$ и $c < 0$.
• Для правой части $lg(b) + lg(c)$, выражение имеет смысл, когда оба слагаемых определены, то есть $b > 0$ и $c > 0$ одновременно.

Таким образом, равенство будет верным только в том случае, когда $b$ и $c$ положительны. Если же $b$ и $c$ оба отрицательны, левая часть будет определена, а правая — нет, и равенство не будет выполняться.

Пример, когда равенство является верным

Для того чтобы равенство было верным, необходимо выбрать положительные значения для $b$ и $c$.

Пусть $b = 100$ и $c = 1000$. Подставим эти значения в обе части равенства.

Левая часть: $lg(bc) = lg(100 \cdot 1000) = lg(100000) = lg(10^5) = 5$.

Правая часть: $lg(b) + lg(c) = lg(100) + lg(1000) = lg(10^2) + lg(10^3) = 2 + 3 = 5$.

Так как $5 = 5$, равенство является верным.

Ответ: $b = 100$, $c = 1000$.

Пример, когда равенство не является верным

Чтобы равенство не было верным, можно выбрать такие значения $b$ и $c$, при которых левая часть имеет смысл, а правая — нет. Это произойдет, если $b$ и $c$ будут оба отрицательными.

Пусть $b = -2$ и $c = -50$.

Подставим эти значения в левую часть равенства:

$lg(bc) = lg((-2) \cdot (-50)) = lg(100) = 2$.

Левая часть определена и равна 2.

Теперь рассмотрим правую часть:

$lg(b) + lg(c) = lg(-2) + lg(-50)$.

Выражения $lg(-2)$ и $lg(-50)$ не определены в области действительных чисел, так как аргумент логарифма не может быть отрицательным. Следовательно, вся правая часть равенства не определена. Поскольку левая часть определена, а правая — нет, равенство не является верным.

Ответ: $b = -2$, $c = -50$.