Номер 2, страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §42. ч. 1 - номер 2, страница 294.

2. При каком основании $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает;

в) выпукла вверх;

г) выпукла вниз?

а) Для определения условия возрастания функции $y = \log_a x$ необходимо исследовать знак ее первой производной. Функция возрастает, если ее производная $y'$ положительна.
Найдем первую производную. Для этого воспользуемся формулой перехода к натуральному логарифму: $y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.
Производная по $x$ будет:
$y' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{x \ln a}$
Функция возрастает, если $y' > 0$. Учитывая область определения $x > 0$, знак производной зависит только от знака знаменателя $\ln a$.
Неравенство $\frac{1}{x \ln a} > 0$ выполняется, когда $\ln a > 0$.
Решая $\ln a > 0$, получаем $a > e^0$, то есть $a > 1$.
Ответ: функция возрастает при $a > 1$.

б) Функция убывает, если ее первая производная $y'$ отрицательна.
Используя найденную производную $y' = \frac{1}{x \ln a}$, составим неравенство $y' < 0$:
$\frac{1}{x \ln a} < 0$
Так как $x > 0$, это неравенство выполняется, когда $\ln a < 0$.
Решая $\ln a < 0$, получаем $a < e^0$, то есть $a < 1$.
С учетом общего ограничения на основание логарифма ($a > 0$ и $a \neq 1$), получаем итоговый интервал: $0 < a < 1$.
Ответ: функция убывает при $0 < a < 1$.

в) Выпуклость функции определяется знаком ее второй производной. Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если $y'' < 0$.
Найдем вторую производную от $y' = \frac{1}{x \ln a}$:
$y'' = \left(\frac{1}{x \ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \left(x^{-1}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{1}{x^2 \ln a}$
Условие выпуклости вверх $y'' < 0$ означает:
$-\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$, что эквивалентно $\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$.
Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, неравенство сводится к $\ln a > 0$.
Отсюда следует, что $a > 1$.
Ответ: функция выпукла вверх при $a > 1$.

г) Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой), если ее вторая производная $y'' > 0$.
Используя найденную вторую производную $y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a}$, составим неравенство $y'' > 0$:
$-\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$, что эквивалентно $\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$.
Так как $x^2 > 0$, это неравенство выполняется, когда $\ln a < 0$.
Решением является $a < 1$. С учетом ограничений на основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$), получаем $0 < a < 1$.
Ответ: функция выпукла вниз при $0 < a < 1$.