Страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как связаны между собой графики функций:

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$;

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$;

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$;

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$;

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 (x - 2)$?

а) Функции $y = 2^x$ (показательная) и $y = \log_2 x$ (логарифмическая) являются взаимно обратными, поскольку основание степени и основание логарифма равны (в данном случае 2). Графики взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Чтобы получить график одной из них, нужно отразить график другой относительно этой прямой.
Ответ: График функции $y = \log_2 x$ симметричен графику функции $y = 2^x$ относительно прямой $y=x$.

б) Функция $y = \lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Таким образом, мы имеем пару функций: показательную $y = 10^x$ и логарифмическую $y = \log_{10} x$. Как и в предыдущем пункте, эти функции являются взаимно обратными, так как их основание одинаково и равно 10. Следовательно, их графики также симметричны относительно прямой $y=x$.
Ответ: График функции $y = \lg x$ симметричен графику функции $y = 10^x$ относительно прямой $y=x$.

в) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = -\log_3 x$ будет соответствовать графику $y = -f(x)$. Такое преобразование означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, на новом графике будет точка $(x_0, -y_0)$. Это соответствует симметричному отражению (зеркальному отображению) графика относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

г) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = \log_3 x + 2$ будет соответствовать графику $y = f(x) + 2$. Преобразование вида $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Поскольку $c=2$ (положительное число), сдвиг происходит вверх на 2 единицы.
Ответ: График функции $y = \log_3 x + 2$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

д) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = \log_3(x-2)$ будет соответствовать графику $y = f(x-2)$. Преобразование вида $y = f(x-c)$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Поскольку $c=2$ (положительное число), сдвиг происходит вправо на 2 единицы.
Ответ: График функции $y = \log_3(x-2)$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

2. При каком основании $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает;

в) выпукла вверх;

г) выпукла вниз?

а) Для определения условия возрастания функции $y = \log_a x$ необходимо исследовать знак ее первой производной. Функция возрастает, если ее производная $y'$ положительна.
Найдем первую производную. Для этого воспользуемся формулой перехода к натуральному логарифму: $y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.
Производная по $x$ будет:
$y' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{x \ln a}$
Функция возрастает, если $y' > 0$. Учитывая область определения $x > 0$, знак производной зависит только от знака знаменателя $\ln a$.
Неравенство $\frac{1}{x \ln a} > 0$ выполняется, когда $\ln a > 0$.
Решая $\ln a > 0$, получаем $a > e^0$, то есть $a > 1$.
Ответ: функция возрастает при $a > 1$.

б) Функция убывает, если ее первая производная $y'$ отрицательна.
Используя найденную производную $y' = \frac{1}{x \ln a}$, составим неравенство $y' < 0$:
$\frac{1}{x \ln a} < 0$
Так как $x > 0$, это неравенство выполняется, когда $\ln a < 0$.
Решая $\ln a < 0$, получаем $a < e^0$, то есть $a < 1$.
С учетом общего ограничения на основание логарифма ($a > 0$ и $a \neq 1$), получаем итоговый интервал: $0 < a < 1$.
Ответ: функция убывает при $0 < a < 1$.

в) Выпуклость функции определяется знаком ее второй производной. Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если $y'' < 0$.
Найдем вторую производную от $y' = \frac{1}{x \ln a}$:
$y'' = \left(\frac{1}{x \ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \left(x^{-1}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{1}{x^2 \ln a}$
Условие выпуклости вверх $y'' < 0$ означает:
$-\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$, что эквивалентно $\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$.
Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, неравенство сводится к $\ln a > 0$.
Отсюда следует, что $a > 1$.
Ответ: функция выпукла вверх при $a > 1$.

г) Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой), если ее вторая производная $y'' > 0$.
Используя найденную вторую производную $y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a}$, составим неравенство $y'' > 0$:
$-\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$, что эквивалентно $\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$.
Так как $x^2 > 0$, это неравенство выполняется, когда $\ln a < 0$.
Решением является $a < 1$. С учетом ограничений на основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$), получаем $0 < a < 1$.
Ответ: функция выпукла вниз при $0 < a < 1$.

3. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

a) $y = \lg x$;

б) $y = \log_2 (x - 1)$;

в) $y = \log_{0.5} (x + 4)$;

г) $y = \log_2 x - 3$.

Общий принцип нахождения вертикальных асимптот для логарифмических функций вида $y = \log_a(f(x))$ заключается в определении границы области определения. Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график функции стремится, но никогда не пересекает. Для логарифмических функций это происходит там, где аргумент логарифма стремится к нулю. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты находится из уравнения $f(x) = 0$.

а) Дана функция $y = \lg x$.

Это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Аргументом логарифма является $x$. Область определения функции задается неравенством $x > 0$. Вертикальная асимптота находится на границе этой области. Приравниваем аргумент к нулю, чтобы найти уравнение асимптоты: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

б) Дана функция $y = \log_2 (x - 1)$.

Аргументом логарифма является выражение $(x - 1)$. Область определения функции находится из условия $x - 1 > 0$, что равносильно $x > 1$. Вертикальная асимптота соответствует границе области определения. Приравниваем аргумент к нулю: $x - 1 = 0$. Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты.

Ответ: $x = 1$.

в) Дана функция $y = \log_{0,5} (x + 4)$.

Аргументом логарифма является выражение $(x + 4)$. Область определения функции находится из условия $x + 4 > 0$, что равносильно $x > -4$. Вертикальная асимптота находится на границе этой области. Приравниваем аргумент к нулю: $x + 4 = 0$. Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты.

Ответ: $x = -4$.

г) Дана функция $y = \log_2 x - 3$.

Эта функция получена из функции $y = \log_2 x$ сдвигом графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Такой сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты. Аргументом логарифма является $x$. Область определения задается условием $x > 0$. Вертикальная асимптота соответствует границе области определения, то есть уравнению $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4. Решите графически неравенство:

а) $\log_2 x > 0$;

б) $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$;

в) $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$;

г) $\log_{0,7} x > 0$.

a)

Чтобы решить неравенство $\log_2 x > 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_2 x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_2 x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_2 x > 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ находится выше оси $Ox$.

Поскольку функция возрастающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут положительными (график выше оси $Ox$) при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б)

Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{2}{3}} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ находится на оси $Ox$ или ниже неё.

Поскольку функция убывающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут равны нулю при $x=1$ и отрицательными (график ниже оси $Ox$) при $x > 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

в)

Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{4}{3}} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ находится на оси $Ox$ или ниже неё.

Поскольку функция возрастающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут равны нулю при $x=1$ и отрицательными (график ниже оси $Ox$) при $0 < x < 1$. Учитывая область определения $x > 0$, получаем искомый интервал.

Ответ: $x \in (0; 1]$.

г)

Чтобы решить неравенство $\log_{0,7} x > 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{0,7} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{0,7} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{0,7} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{0,7} x > 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{0,7} x$ находится выше оси $Ox$.

Поскольку функция убывающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут положительными (график выше оси $Ox$) при $0 < x < 1$. Учитывая область определения $x > 0$, получаем искомый интервал.

Ответ: $x \in (0; 1)$.