Номер 4, страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §42. ч. 1 - номер 4, страница 294.

4. Решите графически неравенство:

а) $\log_2 x > 0$;

б) $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$;

в) $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$;

г) $\log_{0,7} x > 0$.

a)

Чтобы решить неравенство $\log_2 x > 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_2 x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_2 x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_2 x > 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ находится выше оси $Ox$.

Поскольку функция возрастающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут положительными (график выше оси $Ox$) при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б)

Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{2}{3}} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{\frac{2}{3}} x \le 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ находится на оси $Ox$ или ниже неё.

Поскольку функция убывающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут равны нулю при $x=1$ и отрицательными (график ниже оси $Ox$) при $x > 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

в)

Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{4}{3}} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{\frac{4}{3}} x \le 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{4}{3}} x$ находится на оси $Ox$ или ниже неё.

Поскольку функция возрастающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут равны нулю при $x=1$ и отрицательными (график ниже оси $Ox$) при $0 < x < 1$. Учитывая область определения $x > 0$, получаем искомый интервал.

Ответ: $x \in (0; 1]$.

г)

Чтобы решить неравенство $\log_{0,7} x > 0$ графически, рассмотрим графики двух функций: $y = \log_{0,7} x$ и $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$).

Функция $y = \log_{0,7} x$ является логарифмической. Её основные свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Основание логарифма $a = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{0,7} 1 = 0$.

Графически, решение неравенства $\log_{0,7} x > 0$ — это те значения $x$, при которых график функции $y = \log_{0,7} x$ находится выше оси $Ox$.

Поскольку функция убывающая и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, ее значения будут положительными (график выше оси $Ox$) при $0 < x < 1$. Учитывая область определения $x > 0$, получаем искомый интервал.

Ответ: $x \in (0; 1)$.