Номер 3, страница 289, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §41. ч. 1 - номер 3, страница 289.

3. Приведите два примера, когда $\log_a b$ — рациональное число.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Целые числа также являются рациональными, так как любое целое $p$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{1}$.

Логарифм $\log_a b$ является рациональным числом, если существуют такое число $c$ и такие целые числа $m$ и $n$ ($m \ne 0$), что основание $a$ и аргумент $b$ можно представить в виде степеней этого числа $c$: $a = c^m$ и $b = c^n$. В этом случае, значение логарифма будет равно:$\log_a b = \log_{c^m} (c^n) = \frac{n}{m} \log_c c = \frac{n}{m}$Результат $\frac{n}{m}$ является рациональным числом по определению.

Ниже приведены два примера, в которых логарифм является рациональным числом.

Пример 1

Рассмотрим логарифм $\log_2 8$. По определению логарифма, $\log_a b = x$ эквивалентно $a^x = b$.В нашем случае $a=2$, $b=8$. Найдем $x$:$2^x = 8$.Поскольку $8$ — это третья степень числа $2$ ($8=2^3$), мы можем переписать уравнение:$2^x = 2^3$.Отсюда следует, что $x=3$. Число $3$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Ответ: $\log_2 8 = 3$.

Пример 2

Рассмотрим логарифм $\log_{81} 9$. Здесь основание $a=81$ и аргумент $b=9$. Найдем значение $x$, такое что:$81^x = 9$.Заметим, что и основание, и аргумент можно представить как степени одного и того же числа. В данном случае, оба числа являются степенями 9. Так как $81 = 9^2$, мы можем переписать уравнение:$(9^2)^x = 9^1$.Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$9^{2x} = 9^1$.Приравнивая показатели степени, получаем уравнение:$2x = 1$.Решая его, находим $x = \frac{1}{2}$.Число $\frac{1}{2}$ является рациональным.

Ответ: $\log_{81} 9 = \frac{1}{2}$.