Номер 3, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §40. ч. 1 - номер 3, страница 286.
№3 (с. 286)
Условие. №3 (с. 286)
скриншот условия

3. Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$? уравнение $3^x = 4 - x$?
Какое из этих уравнений вы можете решить устно?
Решение 6. №3 (с. 286)
Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$?
Для того чтобы определить количество корней уравнения $3^x = 5 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 5 - x$. Корни исходного уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков этих функций.
1. Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция с основанием $3 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей числовой оси.
2. Функция $y_2 = 5 - x$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она является строго убывающей на всей числовой оси.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Чтобы доказать, что корень действительно существует, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - (5 - x) = 3^x + x - 5$. Найдём значения этой функции в некоторых точках:
- При $x=1$: $f(1) = 3^1 + 1 - 5 = -1$.
- При $x=2$: $f(2) = 3^2 + 2 - 5 = 9 + 2 - 5 = 6$.
Функция $f(x)$ непрерывна. Поскольку на концах отрезка $[1, 2]$ она принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ существует как минимум один корень. Так как мы ранее установили, что корень может быть только один, то уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет один корень.
Сколько корней имеет уравнение $3^x = 4 - x$?
Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ (строго возрастающая) и $y_2 = 4 - x$ (строго убывающая). Эти функции могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень методом подбора. Проверим небольшие целые значения $x$. При $x=1$: Левая часть: $3^1 = 3$. Правая часть: $4 - 1 = 3$. Так как $3=3$, то $x=1$ является корнем уравнения.
Поскольку корень существует и он может быть только один, мы нашли единственное решение уравнения.
Ответ: Уравнение $3^x = 4 - x$ имеет один корень.
Какое из этих уравнений вы можете решить устно?
Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$. Его корень $x=1$ является целым числом и легко находится подбором.
Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет единственный корень, который, как мы показали, лежит в интервале $(1, 2)$. Он не является целым или рациональным числом, и для его нахождения требуются численные методы, поэтому решить его устно невозможно.
Ответ: Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 286 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 286), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.