Номер 3, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §40 - номер 3, страница 286.

Условие.

3. Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$? уравнение $3^x = 4 - x$?

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решение 6.

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$?

Для того чтобы определить количество корней уравнения $3^x = 5 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 5 - x$. Корни исходного уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков этих функций.

1. Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция с основанием $3 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей числовой оси.

2. Функция $y_2 = 5 - x$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она является строго убывающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Чтобы доказать, что корень действительно существует, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - (5 - x) = 3^x + x - 5$. Найдём значения этой функции в некоторых точках:

• При $x=1$: $f(1) = 3^1 + 1 - 5 = -1$.
• При $x=2$: $f(2) = 3^2 + 2 - 5 = 9 + 2 - 5 = 6$.

Функция $f(x)$ непрерывна. Поскольку на концах отрезка $[1, 2]$ она принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ существует как минимум один корень. Так как мы ранее установили, что корень может быть только один, то уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 4 - x$?

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ (строго возрастающая) и $y_2 = 4 - x$ (строго убывающая). Эти функции могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора. Проверим небольшие целые значения $x$. При $x=1$: Левая часть: $3^1 = 3$. Правая часть: $4 - 1 = 3$. Так как $3=3$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку корень существует и он может быть только один, мы нашли единственное решение уравнения.

Ответ: Уравнение $3^x = 4 - x$ имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$. Его корень $x=1$ является целым числом и легко находится подбором.

Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет единственный корень, который, как мы показали, лежит в интервале $(1, 2)$. Он не является целым или рациональным числом, и для его нахождения требуются численные методы, поэтому решить его устно невозможно.

Ответ: Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$.