Номер 5, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §39. ч. 1 - номер 5, страница 281.

5. В каком случае показательная функция $y = a^x$ возрастает, а в каком — убывает?

Показательная функция задается формулой $y = a^x$, где $a$ — основание степени, а $x$ — показатель степени. По определению, основание показательной функции должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. Характер монотонности функции (возрастание или убывание) полностью определяется значением ее основания $a$.

возрастает

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. В нашем случае, для функции $y=a^x$, это означает, что $a^{x_2} > a^{x_1}$.

Чтобы определить, при каких значениях $a$ это условие выполняется, разделим неравенство на $a^{x_1}$ (это можно сделать, так как $a^{x_1} > 0$):
$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} > 1$
По свойству степеней это равносильно:
$a^{x_2 - x_1} > 1$

Так как по условию $x_2 > x_1$, то показатель степени $x_2 - x_1$ является положительным числом. Неравенство $a^p > 1$ при $p > 0$ выполняется только тогда, когда основание $a$ больше единицы.

Следовательно, показательная функция $y = a^x$ возрастает на всей своей области определения, если ее основание $a > 1$.

Пример: $y = 3^x$. Здесь $a=3 > 1$. Функция возрастает. Для $x_1=2$ и $x_2=3$ имеем $y_1=3^2=9$ и $y_2=3^3=27$. Так как $x_2>x_1$, то и $y_2>y_1$.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ возрастает при $a > 1$.

убывает

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Для функции $y=a^x$ это означает, что $a^{x_2} < a^{x_1}$.

Проведем аналогичные рассуждения. Разделим неравенство на $a^{x_1}$:
$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} < 1$
$a^{x_2 - x_1} < 1$

Показатель степени $x_2 - x_1$ положителен. Неравенство $a^p < 1$ при $p > 0$ и $a>0$ выполняется только тогда, когда основание $a$ находится в интервале от 0 до 1.

Следовательно, показательная функция $y = a^x$ убывает на всей своей области определения, если ее основание $0 < a < 1$.

Пример: $y = (\frac{1}{2})^x$. Здесь $a=\frac{1}{2}$, и $0 < a < 1$. Функция убывает. Для $x_1=2$ и $x_2=3$ имеем $y_1=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ и $y_2=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$. Так как $x_2>x_1$, то $y_2<y_1$.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ убывает при $0 < a < 1$.